Encontre todos os valores de lambda para os quais operatorname{det}(A)=0.
A=\left[\begin{array}{cc}\lambda-4 & 4 \\\\ -2 & \lambda+5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de \lambda tais que \det(A)=0. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}\lambda-4 & 4 \\[4pt] -2 & \lambda+5\end{pmatrix}.
Informações importantes fornecidas:
  • Entrada (1,1) de A é \lambda-4.
  • Entrada (1,2) de A é 4.
  • Entrada (2,1) de A é -2.
  • Entrada (2,2) de A é \lambda+5.
  • Precisamos achar todos os \lambda que anulam o determinante de A.]

Passo 2

Lembra do fórmula do determinante para matrizes 2\times2? Se
M=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d representam as entradas da matriz: a é o elemento da primeira linha primeira coluna, b da primeira linha segunda coluna, c da segunda linha primeira coluna, e d da segunda linha segunda coluna. Essa fórmula é simples: multiplica-se a diagonal principal a\cdot d e subtrai-se o produto da outra diagonal b\cdot c.

Passo 3

Aplicando essa fórmula à matriz A, com a=\lambda-4, b=4, c=-2, d=\lambda+5, obtemos
\det(A)=(\lambda-4)(\lambda+5)-4\cdot(-2).

Passo 4

Agora vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro multiplicamos as parcelas:
(\lambda-4)(\lambda+5)=\lambda^2+5\lambda-4\lambda-20=\lambda^2+\lambda-20.
Em seguida, o produto 4\cdot(-2) vale -8, então
\det(A)=(\lambda^2+\lambda-20)-(-8)=\lambda^2+\lambda-20+8.
Somando -20+8 obtemos -12, logo
\det(A)=\lambda^2+\lambda-12.

Passo 5

Queremos \det(A)=0, ou seja resolver a equação quadrática
\lambda^2+\lambda-12=0.
Para resolver uma quadrática ax^2+bx+c=0 usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação. Aqui a=1, b=1, c=-12. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{49}=7. Aplicando a fórmula:
\lambda=\frac{-1\pm7}{2}.
Isso dá duas soluções:
\lambda=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3, \qquad \lambda=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4.

Passo 6

Como verificação rápida, podemos fatorar a quadrática:
\lambda^2+\lambda-12=(\lambda-3)(\lambda+4),
o que confirma que as raízes são \lambda=3 e \lambda=-4. Conclusão: exatamente esses valores anulam o determinante de A. Força aí — essa é daquelas que viram fácil na prova quando a gente lembra da fórmula do 2\times2!

Resposta

\lambda=3
\lambda=-4

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