Precisamos achar todos os \lambda que anulam o determinante de A.]
Passo 2
Lembra do fórmula do determinante para matrizes 2\times2? Se
M=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d representam as entradas da matriz: a é o elemento da primeira linha primeira coluna, b da primeira linha segunda coluna, c da segunda linha primeira coluna, e d da segunda linha segunda coluna. Essa fórmula é simples: multiplica-se a diagonal principal a\cdot d e subtrai-se o produto da outra diagonal b\cdot c.
Passo 3
Aplicando essa fórmula à matriz A, com a=\lambda-4, b=4, c=-2, d=\lambda+5, obtemos
\det(A)=(\lambda-4)(\lambda+5)-4\cdot(-2).
Passo 4
Agora vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro multiplicamos as parcelas:
Como verificação rápida, podemos fatorar a quadrática:
\lambda^2+\lambda-12=(\lambda-3)(\lambda+4),
o que confirma que as raízes são \lambda=3 e \lambda=-4. Conclusão: exatamente esses valores anulam o determinante de A. Força aí — essa é daquelas que viram fácil na prova quando a gente lembra da fórmula do 2\times2!