Questão 24 Encontre a equação da reta em cada caso:
Reta que passa pelo ponto (2,3) e forma ângulo de 30^{\circ} com o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelo ponto (2,3) e forma um ângulo de 30^\circ com o eixo x.
Informações dadas:
  • Um ponto da reta: (x_0,y_0) = (2,3).
  • O ângulo que a reta faz com o eixo x: \theta = 30^\circ.
    Pergunta: determinar a equação da reta que satisfaz essas condições.

Passo 2

Conceito importante: o coeficiente angular (declive, inclinação) de uma reta é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x.
Explicando devagar: se uma reta faz um ângulo \theta com o eixo x, formando um triângulo retângulo imaginário, a razão “subida sobre avanço” (rise/run) é exatamente \tan\theta. Portanto o coeficiente angular m da reta é
m=\tan\theta.
Aqui m representa quanto a coordenada y varia quando x aumenta de uma unidade.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: \theta = 30^\circ. Usando a razão trigonométrica do triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ, tem-se
\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
Portanto o coeficiente angular é
m=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

Fórmula que vamos usar (fórmula ponto-declive): a equação da reta que passa por (x_0,y_0) com coeficiente angular m é
y-y_0 = m(x-x_0).
Aqui x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto conhecido, e m é o declive; essa fórmula é muito prática na prova porque basta substituir.

Passo 5

Substituindo x_0=2, y_0=3 e m=\dfrac{\sqrt{3}}{3} na fórmula ponto-declive:
y-3 = \frac{\sqrt{3}}{3}\,(x-2).
Agora passamos para a forma explícita y= (para facilitar leitura na prova). Primeiro distribuímos:
y-3 = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}.
Somando 3 aos dois lados (e lembrando que 3=\dfrac{9}{3}) obtemos
y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{9}{3}.
Agrupando termos constantes:
y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{9-2\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar mais seguro): substituir x=2 na expressão encontrada deve devolver y=3. Substituindo,
y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 2 + \frac{9-2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3} + 9 - 2\sqrt{3}}{3} = \frac{9}{3}=3,
logo a reta passa mesmo por (2,3). Tudo conferido!

Resposta

y-3=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,(x-2)
y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,x+\dfrac{9-2\sqrt{3}}{3}

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