Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=x^{2}-6 x+5

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x^{2}-6x+5.
As perguntas são:
  • A função é injetiva? (cada valor no contradomínio tem no máximo um antecessor)
  • A função é sobrejetiva? (cada valor no contradomínio tem pelo menos um antecessor)
    Pede-se justificativa por cálculos e/ou argumentos.

Passo 2

Definições (explicadas de forma prática):
  • Injetiva: f é injetiva se, sempre que f(a)=f(b), então necessariamente a=b. Intuitivamente, não existem dois pontos diferentes do domínio que dêem o mesmo valor de saída.
  • Sobrejetiva: f é sobrejetiva se, para todo y\in\mathbb{R} (porque o contradomínio é \mathbb{R}), existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Em outras palavras, a imagem de f é todo o \mathbb{R}.
Vou usar essas definições para testar f.

Passo 3

Teste de injetividade por cálculo algébrico direto. Suponha f(a)=f(b). Então
a^{2}-6a+5=b^{2}-6b+5.
Subtraindo os dois lados:
a^{2}-6a=b^{2}-6b.
Colocando tudo num lado e fatorando:
a^{2}-b^{2}-6a+6b=0
(a-b)(a+b)-6(a-b)=0
(a-b)\bigl(a+b-6\bigr)=0.
Dessa equação, para f(a)=f(b) valem duas possibilidades: a-b=0 (i.e. a=b) ou a+b-6=0 (i.e. a+b=6). A segunda possibilidade mostra que existem pares distintos a\neq b com f(a)=f(b) (basta escolher a e b diferentes cuja soma seja 6). Portanto f não é injetiva.
Um contraexemplo concreto (para ficar bem claro): escolha a=2 e b=4 (note 2+4=6 e 2\neq4). Calculando:
f(2)=2^{2}-6\cdot2+5=4-12+5=-3,
f(4)=4^{2}-6\cdot4+5=16-24+5=-3.
Então f(2)=f(4) com 2\neq4, confirmando que f não é injetiva.

Passo 4

Agora analiso a imagem (para decidir sobrejetividade). Uma forma prática é completar o quadrado para entender o gráfico da função:
f(x)=x^{2}-6x+5=(x^{2}-6x+9)-9+5=(x-3)^{2}-4.
Isto mostra que f é uma parábola com vértice em (3,-4) e que abre para cima (coeficiente de x^{2} positivo). Assim o menor valor que f assume é -4 (no vértice) e f(x) cresce para +\infty quando |x| cresce. Logo a imagem (o conjunto de valores atingidos por f) é o intervalo
\mathrm{Im}(f)=[-4,\infty).
Como o contradomínio dado é \mathbb{R}=(-\infty,\infty), a imagem não é todo o contradomínio: por exemplo, y=-5 não está em \mathrm{Im}(f) porque f(x)\ge -4 para todo x. Portanto f não é sobrejetiva.

Passo 5

(Complemento algébrico que confirma o intervalo da imagem.) Resolver f(x)=y para um dado y\in\mathbb{R}:
x^{2}-6x+5=y \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-6x+(5-y)=0.
O discriminante dessa quadrática é
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot(5-y)=36-20+4y=16+4y=4(4+y).
  • Se y<-4 então \Delta<0: nenhuma raiz real, logo y não é atingido por f.
  • Se y=-4 então \Delta=0: uma única raiz (caso do vértice), y é atingido por exatamente um x.
  • Se y>-4 então \Delta>0: duas raízes diferentes (dois antecessores), mostrando também de forma explícita a não-injetividade para esses y.
Isso confirma que a imagem é exatamente [-4,\infty), e portanto f não é sobrejetiva.

Passo 6

Resumo e interpretação final (sem cálculos adicionais):
  • Existem valores y no contradomínio ( y>-4) com dois antecessores distintos no domínio (por exemplo f(2)=f(4)=-3), então f não é injetiva.
  • Nem todo y\in\mathbb{R} é atingido (valores y<-4 não têm antecessor), então f não é sobrejetiva.
Força aí — a ideia principal é: parábola com mínimo em -4 não cobre todo \mathbb{R} e é simétrica em torno de x=3, por isso repete valores.

Resposta

Injetiva: não.
Sobrejetiva: não.

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