Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
- A função é injetiva? (cada valor no contradomínio tem no máximo um antecessor)
- A função é sobrejetiva? (cada valor no contradomínio tem pelo menos um antecessor)
Pede-se justificativa por cálculos e/ou argumentos.
Passo 2
Definições (explicadas de forma prática):
- Injetiva:
é injetiva se, sempre que , então necessariamente . Intuitivamente, não existem dois pontos diferentes do domínio que dêem o mesmo valor de saída. - Sobrejetiva:
é sobrejetiva se, para todo (porque o contradomínio é ), existe tal que . Em outras palavras, a imagem de é todo o .
Vou usar essas definições para testar
.
Passo 3
Teste de injetividade por cálculo algébrico direto. Suponha
. Então
Subtraindo os dois lados:
Colocando tudo num lado e fatorando:
Dessa equação, para
valem duas possibilidades:
(i.e.
) ou
(i.e.
). A segunda possibilidade mostra que existem pares distintos
com
(basta escolher
e
diferentes cuja soma seja
). Portanto
não é injetiva.
Um contraexemplo concreto (para ficar bem claro): escolha
e
(note
e
). Calculando:
Então
com
, confirmando que
não é injetiva.
Passo 4
Agora analiso a imagem (para decidir sobrejetividade). Uma forma prática é completar o quadrado para entender o gráfico da função:
Isto mostra que
é uma parábola com vértice em
e que abre para cima (coeficiente de
positivo). Assim o menor valor que
assume é
(no vértice) e
cresce para
quando
cresce. Logo a imagem (o conjunto de valores atingidos por
) é o intervalo
Como o contradomínio dado é
, a imagem não é todo o contradomínio: por exemplo,
não está em
porque
para todo
. Portanto
não é sobrejetiva.
Passo 5
(Complemento algébrico que confirma o intervalo da imagem.) Resolver
para um dado
:
O discriminante dessa quadrática é
- Se
então : nenhuma raiz real, logo não é atingido por . - Se
então : uma única raiz (caso do vértice), é atingido por exatamente um . - Se
então : duas raízes diferentes (dois antecessores), mostrando também de forma explícita a não-injetividade para esses .
Isso confirma que a imagem é exatamente
, e portanto
não é sobrejetiva.
Passo 6
Resumo e interpretação final (sem cálculos adicionais):
- Existem valores
no contradomínio ( ) com dois antecessores distintos no domínio (por exemplo ), então não é injetiva. - Nem todo
é atingido (valores não têm antecessor), então não é sobrejetiva.
Força aí — a ideia principal é: parábola com mínimo em
não cobre todo
e é simétrica em torno de
, por isso repete valores.
Resposta
Injetiva: não.
Sobrejetiva: não.
Sobrejetiva: não.