Questão 24 Encontre a equação da reta em cada caso:
Reta que passa pelo ponto (1,5) e tem coeficiente angular \frac{1}{10}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá o ponto por onde a reta passa: (1,5).
  • Dá o coeficiente angular (inclinação) da reta: m=\dfrac{1}{10}.
  • Pede a equação da reta que passa por esse ponto com esse coeficiente angular.

Passo 2

Explicando o coeficiente angular (slope) de forma simples:
  • O coeficiente angular m mede quanto a ordenada y cresce quando a abscissa x aumenta de uma unidade. Ou seja, se m=\dfrac{1}{10}, ao aumentar x em 1, y aumenta em \dfrac{1}{10}.
  • Na prova, quando se dá um ponto (x_0,y_0) e a inclinação m, a forma mais direta de obter a equação é usar a fórmula ponto-inclinação (point-slope).

Passo 3

Apresentando a fórmula ponto-inclinação e explicando cada símbolo:
  • Fórmula ponto-inclinação:
y - y_0 = m\,(x - x_0)
  • Aqui:
    • x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto dado;
    • m é o coeficiente angular;
    • x e y são as variáveis da reta (qualquer ponto genérico da reta satisfaz essa equação).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso (substituindo x_0=1, y_0=5, m=\dfrac{1}{10}):
y - 5 = \frac{1}{10}\,(x - 1)
Esta já é uma equação válida da reta (forma ponto-inclinação). Vai direto à prova se aceitarem essa forma.

Passo 5

Agora vamos transformar essa equação numa forma mais comum (forma explícita ou forma reduzida y=mx+b), mostrando passo a passo as contas:
Primeiro expandir o lado direito:
y - 5 = \frac{1}{10}x - \frac{1}{10}
Agora isolar y somando 5 em ambos os lados. Para somar frações com 5, escrevemos 5 com denominador 10: 5=\dfrac{50}{10}. Então:
y = \frac{1}{10}x - \frac{1}{10} + \frac{50}{10}
Somando as frações:
- \frac{1}{10} + \frac{50}{10} = \frac{49}{10}
Portanto a forma explícita é
y = \frac{1}{10}x + \frac{49}{10}.
Aqui o termo \dfrac{49}{10} é o intercepto em y (valor de y quando x=0), que em decimal é 4,9.

Passo 6

Opcional: obter a forma geral (ax + by + c = 0) com coeficientes inteiros — útil em algumas provas:
Multiplicando y = \dfrac{1}{10}x + \dfrac{49}{10} por 10:
10y = x + 49.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
x - 10y + 49 = 0.
Esta equação é equivalente às anteriores.

Passo 7

Verificações rápidas (para confiança na resposta):
  • Inserir o ponto (1,5) em y = \dfrac{1}{10}x + \dfrac{49}{10}:
\text{lado direito} = \frac{1}{10}\cdot 1 + \frac{49}{10} = \frac{50}{10} = 5,
bate com y=5.
  • O coeficiente de x é \dfrac{1}{10}, que é exatamente o m dado.

Resposta

y = \dfrac{1}{10}x + \dfrac{49}{10}
x - 10y + 49 = 0

Exercícios relacionados