Questão 24. Mostre que todo corpo é um domínio.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que todo corpo é um domínio de integridade. Vamos revisar as definições que usaremos.
Um corpo é um anel comutativo
com elemento neutro multiplicativo
em que todo elemento não nulo possui inverso multiplicativo.
Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não admite divisores de zero; isto é, satisfaz a condição
Passo 2
Seja
um corpo. Tomemos
tais que
Queremos mostrar que
ou
. Se
, já está satisfeito. Caso contrário,
e, por ser corpo, existe o inverso
em
. Multiplicando a equação
pela direita por
, obtemos
Passo 3
Acabamos de ver que, sempre que
em
, deve ocorrer
ou
. Logo,
não possui divisores de zero.
Resposta
Concluímos que todo corpo é um domínio de integridade.