Questão 25. Mostre que 0 é o único divisor de zero no anel
e
.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que em
não existem divisores de zero não nulos (ou seja,
é o único divisor de zero) e que as únicas unidades (ou elementos invertíveis) são
. Vamos usar a definição de divisor de zero e de unidade em anel, além de propriedades elementares dos inteiros.
Passo 2
Definição: dizemos que
é divisor de zero se
e existe
tal que
. Em
usamos o valor absoluto para ver que isso não ocorre. Se
e
, então
logo
. Portanto não há
,
com
, e o único divisor de zero é
.
Passo 3
Definição: dizemos que
é unidade se existe
tal que
. Da igualdade
segue
, e o único produto de inteiros com valor absoluto
é quando
. Assim
. E de fato
, mostrando que
são invertíveis.
Resposta
O único divisor de zero em
é
e
.