Questão 25. Mostre que 0 é o único divisor de zero no anel \mathbb{Z} e \mathcal{U}(\mathbb{Z})=\{-1,1\}.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que em \mathbb{Z} não existem divisores de zero não nulos (ou seja, 0 é o único divisor de zero) e que as únicas unidades (ou elementos invertíveis) são \pm1. Vamos usar a definição de divisor de zero e de unidade em anel, além de propriedades elementares dos inteiros.

Passo 2

Definição: dizemos que a\in\mathbb{Z} é divisor de zero se a\neq0 e existe b\neq0 tal que ab=0. Em \mathbb{Z} usamos o valor absoluto para ver que isso não ocorre. Se a\neq0 e b\neq0, então
|ab| = |a|\cdot|b| \ge 1\cdot1 = 1 > 0,
logo ab\neq0. Portanto não há a\neq0, b\neq0 com ab=0, e o único divisor de zero é 0.

Passo 3

Definição: dizemos que a\in\mathbb{Z} é unidade se existe b\in\mathbb{Z} tal que ab=1. Da igualdade
ab = 1
segue |a|\cdot|b|=1, e o único produto de inteiros com valor absoluto 1 é quando |a|=|b|=1. Assim a=\pm1. E de fato (\pm1)\cdot(\pm1)=1, mostrando que \pm1 são invertíveis.

Resposta

O único divisor de zero em \mathbb{Z} é 0 e \mathcal{U}(\mathbb{Z}) = \{-1,1\}.

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