Questão 29. O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma, num de seus escritos, que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39 ; todos eram gêmeos triplos, exceto 39 ; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39 . O número de filhos do emir é:
a) 75
b) 48
c) 51
d) 78
a) 75
b) 48
c) 51
d) 78
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações importantes e pergunta qual é o número de filhos do emir (entre as alternativas dadas):
- O emir teve mais de
filhos (portanto o total é ). - "Todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto
". (ou seja, ao agrupar em duplas, sobravam filhos que não faziam parte dessas duplas) - "Todos eram gêmeos triplos, exceto
". (ao agrupar em trios, sobravam filhos) - "Todos eram gêmeos quádruplos, exceto
". (ao agrupar em quartetos, sobravam filhos) - Alternativas: (a)
, (b) , (c) , (d) .
Passo 2
Vamos traduzir essas frases para matemática. Seja
o número total de filhos. A frase "todos eram gêmeos duplos, exceto
" significa que, ao formar grupos de
, o número de filhos que ficam agrupados é
; esse número precisa ser múltiplo de
. Em linguagem de divisibilidade:
Analogamente, das outras frases obtemos:
Ou, em forma de congruências:
Passo 3
Vamos simplificar essas congruências olhando para
módulo
:
Portanto as condições equivalem a
Passo 4
Observação útil: se
é múltiplo de
, de
e de
, então
é múltiplo do mínimo múltiplo comum de
. Calculamos o mínimo múltiplo comum (m.m.c.):
- Fatores primos:
, , . - O m.m.c. toma
e , ou seja .
Logo
ou seja existe um inteiro
tal que
Passo 5
Como o enunciado diz que ele teve mais de
filhos, devemos ter
. Os menores valores de
possíveis são, para
:
Portanto qualquer solução válida está nessa progressão aritmética
Passo 6
Agora verificamos quais das alternativas pertencem à sequência
:
- Para
: , que não é múltiplo de . Logo não serve. - Para
: , múltiplo de . Serve. - Para
: , múltiplo de . Serve. - Para
: , que não é múltiplo de . Não serve.
Temos então que
e
satisfazem as condições. Como o enunciado pede um número concreto de filhos e apenas nos dá que é "mais de
", a menor quantidade que satisfaz todas as condições é a mais natural e habitual para resolver esse tipo de problema — isto é, o menor
que cumpre as três condições. Esse menor
é
.
Resposta
(c)