Questão 29. O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma, num de seus escritos, que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39 ; todos eram gêmeos triplos, exceto 39 ; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39 . O número de filhos do emir é:
a) 75
b) 48
c) 51
d) 78

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações importantes e pergunta qual é o número de filhos do emir (entre as alternativas dadas):
  • O emir teve mais de 39 filhos (portanto o total é >39).
  • "Todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39". (ou seja, ao agrupar em duplas, sobravam 39 filhos que não faziam parte dessas duplas)
  • "Todos eram gêmeos triplos, exceto 39". (ao agrupar em trios, sobravam 39 filhos)
  • "Todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39". (ao agrupar em quartetos, sobravam 39 filhos)
  • Alternativas: (a) 75, (b) 48, (c) 51, (d) 78.

Passo 2

Vamos traduzir essas frases para matemática. Seja N o número total de filhos. A frase "todos eram gêmeos duplos, exceto 39" significa que, ao formar grupos de 2, o número de filhos que ficam agrupados é N-39; esse número precisa ser múltiplo de 2. Em linguagem de divisibilidade:
N-39 \text{ é múltiplo de }2.éú
Analogamente, das outras frases obtemos:
N-39 \text{ é múltiplo de }3,éú
N-39 \text{ é múltiplo de }4.éú
Ou, em forma de congruências:
N \equiv 39 \pmod{2},\qquad N \equiv 39 \pmod{3},\qquad N \equiv 39 \pmod{4}.

Passo 3

Vamos simplificar essas congruências olhando para 39 módulo 2,3,4:
39 \equiv 1 \pmod{2},\qquad 39 \equiv 0 \pmod{3},\qquad 39 \equiv 3 \pmod{4}.
Portanto as condições equivalem a
N \equiv 1 \pmod{2},\qquad N \equiv 0 \pmod{3},\qquad N \equiv 3 \pmod{4}.

Passo 4

Observação útil: se N-39 é múltiplo de 2, de 3 e de 4, então N-39 é múltiplo do mínimo múltiplo comum de 2,3,4. Calculamos o mínimo múltiplo comum (m.m.c.):
  • Fatores primos: 2=2, 3=3, 4=2^2.
  • O m.m.c. toma 2^2 e 3, ou seja \mathrm{m.m.c.}(2,3,4)=2^2\cdot 3=12.
    Logo
N-39 \text{ é múltiplo de }12,éú
ou seja existe um inteiro k tal que
N=39+12k.

Passo 5

Como o enunciado diz que ele teve mais de 39 filhos, devemos ter k\ge 1. Os menores valores de N possíveis são, para k=1,2,3,\dots:
N=39+12\cdot1=51,\quad N=39+12\cdot2=63,\quad N=39+12\cdot3=75,\\ \dots
Portanto qualquer solução válida está nessa progressão aritmética 51,63,75,87,\dots

Passo 6

Agora verificamos quais das alternativas pertencem à sequência N=39+12k:
  • Para 48: 48-39=9, que não é múltiplo de 12. Logo 48 não serve.
  • Para 51: 51-39=12, múltiplo de 12. Serve.
  • Para 75: 75-39=36, múltiplo de 12. Serve.
  • Para 78: 78-39=39, que não é múltiplo de 12. Não serve.
Temos então que 51 e 75 satisfazem as condições. Como o enunciado pede um número concreto de filhos e apenas nos dá que é "mais de 39", a menor quantidade que satisfaz todas as condições é a mais natural e habitual para resolver esse tipo de problema — isto é, o menor N>39 que cumpre as três condições. Esse menor N é 51.

Resposta

(c) 51

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