Questão 24 Sejam a e b números naturais não nulos. Mostre que a \leq a b e b \leq a b.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são números naturais não nulos. Ou seja:
  • a\in\mathbb{N} e b\in\mathbb{N};
  • além disso, por serem não nulos, a\ge 1 e b\ge 1.
O que se pede: mostrar as duas desigualdades
a \leq a b \qquad\text{e}\qquad b \leq a b.

Passo 2

Vamos lembrar (e usar) a definição operacional de multiplicação em naturais: multiplicar por um natural é somar repetidamente. Para a,b\in\mathbb{N} vale
a b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{b\\ \text{vezes}} = \sum_{i=1}^{b} a.
Isso significa que ab é a soma de b parcelas, cada parcela igual a a.

Passo 3

Prova de a \leq a b.
Escrevendo b como b = 1 + (b-1) (note que b-1\in\mathbb{N}\cup\{0\} porque b\ge1), obtemos
a b = a\cdot b = a\cdot\bigl(1+(b-1)\bigr)=a\cdot 1 + a\cdot(b-1)=a + a(b-1).
Agora, a(b-1) é um número natural ou zero (produto de naturais), portanto a(b-1)\ge 0. Assim
a b = a + a(b-1)\ge a + 0 = a.
Logo a \leq a b. Intuitivamente: como b é pelo menos 1, a soma de b cópias de a contém pelo menos uma cópia, então o total é pelo menos a.

Passo 4

Prova de b \leq a b.
A mesma ideia, trocando os papéis de a e b. Escreve-se a = 1 + (a-1) (com a-1\in\mathbb{N}\cup\{0\}) e obtém-se
a b = (1+(a-1))b = 1\cdot b + (a-1)b = b + (a-1)b.
Como (a-1)b\ge 0, segue
a b = b + (a-1)b \ge b + 0 = b.
Logo b \leq a b.

Passo 5

Observações finais e casos de igualdade.
  • Se b=1 então a b = a e a desigualdade a \le ab é, na verdade, igualdade. Se b>1 a desigualdade é estrita (pois soma de mais de uma cópia de a é maior que a).
  • Analogamente, se a=1 então a b = b e b \le ab é igualdade; se a>1 é estrita.

Resposta

a \leq a b
b \leq a b

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