Questão 26 Se a e s s̃o números naturais não nulos e se
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são números naturais não nulos. -
.
O que se pede: mostrar que
.
Passo 2
Entendendo a expressão “números naturais não nulos”: isto significa que
e
pertencem ao conjunto
. Em outras palavras,
Passo 3
A partir de
e
podemos somar as duas desigualdades para obter
Portanto, para quaisquer naturais não nulos
e
sempre vale
.
Passo 4
No nosso problema temos exatamente
. Comparando com a desigualdade do passo anterior, a única maneira de a soma ser exatamente
é que não haja “folga” nas desigualdades individuais, ou seja, que cada um dos termos seja igual a
. Se algum deles fosse maior que
(por exemplo
), então com
teríamos
o que contradiz
. Logo não pode haver nenhum termo maior que
.
Passo 5
Conclui-se que necessariamente
Pronto — não tem outro par de naturais não nulos cuja soma seja
.