Questão 26 Se a e s s̃o números naturais não nulos e se a+b=2, mostre que a=b=1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a e b são números naturais não nulos.
  • a+b=2.
O que se pede: mostrar que a=b=1.

Passo 2

Entendendo a expressão “números naturais não nulos”: isto significa que a e b pertencem ao conjunto \{1,2,3,\dots\}. Em outras palavras,
a\ge 1\quad\text{e}\quad b\ge 1.

Passo 3

A partir de a\ge 1 e b\ge 1 podemos somar as duas desigualdades para obter
a+b \ge 1+1 = 2.
Portanto, para quaisquer naturais não nulos a e b sempre vale a+b\ge2.

Passo 4

No nosso problema temos exatamente a+b=2. Comparando com a desigualdade do passo anterior, a única maneira de a soma ser exatamente 2 é que não haja “folga” nas desigualdades individuais, ou seja, que cada um dos termos seja igual a 1. Se algum deles fosse maior que 1 (por exemplo a\ge 2), então com b\ge1 teríamos
a+b \ge 2+1 = 3,
o que contradiz a+b=2. Logo não pode haver nenhum termo maior que 1.

Passo 5

Conclui-se que necessariamente
a=1\quad\text{e}\quad b=1.
Pronto — não tem outro par de naturais não nulos cuja soma seja 2.

Resposta

a=b=1

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