Questão 25: O bloqueio de escoamento causado pela introdução de uma sonda intrusiva pode ser significativo. Determine o aumento percentual na velocidade da seção correspondente a uma redução de
na área de escoamento devido ao bloqueio por sonda para escoamento de ar, considerando:
- Área da seção:
- Temperatura de estagnação:
- Números de Mach (sem bloqueio):
Passo 1
O enunciado pede: determinar o aumento percentual na velocidade numa seção cuja área foi reduzida em
devido ao bloqueio de sonda, para escoamento de ar com as informações:
Dados físicos úteis (ar perfeito):
.
Objetivo numérico final: calcular de aumento em
, isto é
.
Objetivo numérico final: calcular
Passo 2
Estratégia e hipóteses (explicando a física): vou assumir escoamento isentrópico local (ar ideal, sem perdas significativas causadas pela sonda além da redução de área) e massa mássica constante através da seção. Nessas condições a conservação de massa dá
Para relacionar densidade e velocidade no escoamento compressível usamos as relações isentrópicas entre grandezas estáticas e a temperatura de estagnação
. Vou derivar a relação que liga a área e o número de Mach para isentrópico, que permitirá encontrar a nova Mach
quando a área muda.
Passo 3
Relações isentrópicas básicas (aula curta):
- Temperatura estática
e temperatura de estagnação :
- A velocidade local é
. - A expressão padrão para o fluxo mássico por unidade de área em escoamento isentrópico, escrita em função de
e , é (constantes comuns cancelam ao comparar dois estados):
Para ar com
temos
. Portanto
Como
e
são constantes, a área é inversamente proporcional a
:
Passo 4
Aplicando a mudança de área pequena:
Logo
. Vou calcular
numericamente e obter
. Como a mudança de área é pequena, uso uma linearização (expansão diferencial) para achar
de forma simples e precisa.
Passo 5
Cálculo de
com
:
Calculando
, temos
Passo 6
Linearização para pequeno
. Como
, usando log-diferenciação:
Vou obter
analiticamente (isso evita ter que resolver numericamente uma equação não linear):
com e
obtemos
com
Portanto
Substituindo
e
:
Logo
Da relação diferencial
temos
Substituindo valores:
Portanto
Passo 7
Agora calculamos a variação da velocidade. Usamos a relação
e
. Assim a razão
simplifica (o fator
cancela):
Substituindo
e
:
Logo
Passo 8
Transformando em aumento percentual: