As informações relevantes que temos são exatamente os elementos de A: o elemento da primeira linha e primeira coluna é 3, da primeira linha e segunda coluna é 1, da segunda linha e primeira coluna é 5 e da segunda linha e segunda coluna é 2. O que se pede é encontrar A^{-1}, a matriz que satisfaz A\,A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 2\times2.]
Passo 2
Para inverter uma matriz 2\times2 existe uma fórmula direta que é muito útil na prova (rápida e segura). Seja uma matriz genérica
M=\left[\begin{array}{ll}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right].
A determinação da inversa depende do determinante de M, definido por
\det(M)=a d - b c.
Explicando: a, b, c e d são os elementos da matriz conforme suas posições; o determinante é esse número que diz, resumidamente, se a matriz é invertível (\det(M)\neq0) ou não (\det(M)=0 implica sem inversa).
Aqui a matriz entre colchetes é a adjunta (ou adjugata) de M: troca-se a com d e troca-se o sinal de b e c. Esse procedimento é padrão e rápido na prova.]
Passo 3
Agora aplico isso à nossa matriz A. Identificando os elementos:
a=3,\quad b=1,\quad c=5,\quad d=2.
Calculo o determinante:
\det(A)=a d - b c = 3\cdot 2 - 1\cdot 5.
Faço as contas passo a passo:
3\cdot 2 = 6,\qquad 1\cdot 5 = 5,
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\det(A)=6-5=1.
Como \det(A)=1\neq0, a matriz A tem inversa e, além disso, o fator 1/\det(A) será simplesmente 1, o que facilita as contas.
Passo 4
Construo a adjugata (trocar a com d e negar b e c):
confirmação correta de que a matriz encontrada é de fato a inversa.]
Passo 7
Resumo rápido e dica de prova: para matrizes 2\times2 memorize a fórmula \displaystyle M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{bmatrix}. Sempre calcule o determinante primeiro; se for 1 fica tudo muito fácil. Respire fundo — essa é daquelas que dá para fazer bem rápido no caderno da prova.