Questão 25. Cacule a inversa de cada matriz dada.
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 5 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz A. A matriz dada é
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\[4pt] 5 & 2\end{array}\right].
As informações relevantes que temos são exatamente os elementos de A: o elemento da primeira linha e primeira coluna é 3, da primeira linha e segunda coluna é 1, da segunda linha e primeira coluna é 5 e da segunda linha e segunda coluna é 2. O que se pede é encontrar A^{-1}, a matriz que satisfaz A\,A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 2

Para inverter uma matriz 2\times2 existe uma fórmula direta que é muito útil na prova (rápida e segura). Seja uma matriz genérica
M=\left[\begin{array}{ll}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right].
A determinação da inversa depende do determinante de M, definido por
\det(M)=a d - b c.
Explicando: a, b, c e d são os elementos da matriz conforme suas posições; o determinante é esse número que diz, resumidamente, se a matriz é invertível ( \det(M)\neq0) ou não ( \det(M)=0 implica sem inversa).
Se \det(M)\neq0, então a inversa é dada por
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\left[\begin{array}{ll}d & -b \\[4pt] -c & a\end{array}\right].
Aqui a matriz entre colchetes é a adjunta (ou adjugata) de M: troca-se a com d e troca-se o sinal de b e c. Esse procedimento é padrão e rápido na prova.]

Passo 3

Agora aplico isso à nossa matriz A. Identificando os elementos:
a=3,\quad b=1,\quad c=5,\quad d=2.
Calculo o determinante:
\det(A)=a d - b c = 3\cdot 2 - 1\cdot 5.
Faço as contas passo a passo:
3\cdot 2 = 6,\qquad 1\cdot 5 = 5,
logo
\det(A)=6-5=1.
Como \det(A)=1\neq0, a matriz A tem inversa e, além disso, o fator 1/\det(A) será simplesmente 1, o que facilita as contas.

Passo 4

Construo a adjugata (trocar a com d e negar b e c):
\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{ll}d & -b \\[4pt] -c & a\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\[4pt] -5 & 3\end{array}\right].
Expliquei cada entrada: a posição (1,1) recebe d=2; a posição (1,2) recebe -b=-1; a posição (2,1) recebe -c=-5; a posição (2,2) recebe a=3.]

Passo 5

Como \det(A)=1, a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)=1\cdot\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\[4pt] -5 & 3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\[4pt] -5 & 3\end{array}\right].]

Passo 6

É bom conferir fazendo a multiplicação A\,A^{-1} para ver se dá a identidade. Calculo passo a passo (multiplicação de matrizes 2\times2):
Produto A\,A^{-1}:
\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\[4pt] 5 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\[4pt] -5 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 3\cdot 2 + 1\cdot(-5) & 3\cdot(-1) + 1\cdot 3 \\[6pt] 5\cdot 2 + 2\cdot(-5) & 5\cdot(-1) + 2\cdot 3 \end{array}\right].
Faço cada entrada:
3\cdot 2 + 1\cdot(-5)=6-5=1,
3\cdot(-1) + 1\cdot 3=-3+3=0,
5\cdot 2 + 2\cdot(-5)=10-10=0,
5\cdot(-1) + 2\cdot 3=-5+6=1.
Portanto
A\,A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right]=I,
confirmação correta de que a matriz encontrada é de fato a inversa.]

Passo 7

Resumo rápido e dica de prova: para matrizes 2\times2 memorize a fórmula \displaystyle M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{bmatrix}. Sempre calcule o determinante primeiro; se for 1 fica tudo muito fácil. Respire fundo — essa é daquelas que dá para fazer bem rápido no caderno da prova.

Resposta

\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\[4pt] -5 & 3\end{array}\right]]

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