QUESTÃO 25

Considere que, em condições ideais, o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t , de acordo com a lei de formação \mathrm{Q}(\mathrm{t})=\mathrm{Q}_{\mathrm{o}} \cdot e^{\mathrm{kt}}, sendo: \mathrm{k}>0 uma constante que depende da natureza das bactérias; o número irracional e vale aproximadamente 2,718 ; e \mathrm{Q}_{\mathrm{o}} é a quantidade inicial de bactérias. Se nessa cultura há inicialmente 3.000 bactérias e, 10 minutos depois, há 9.000 bactérias, quantas bactérias estarão presentes depois de 40 minutos?
A) 360.000
B) 243.000
C) 240.000
D) 120.000

Passo 1

O enunciado pede que calculemos quantas bactérias haverá depois de 40 minutos, sabendo que o crescimento é exponencial segundo a lei \mathrm{Q}(t)=\mathrm{Q}_{0}\cdot e^{\mathrm{kt}}. Dados fornecidos pelo enunciado:
\mathrm{Q}_{0}=3000 (quantidade inicial),
\mathrm{Q}(10)=9000 (quantidade após 10 minutos),
\mathrm{k}>0 é constante desconhecida.
O objetivo: encontrar \mathrm{Q}(40).

Passo 2

Escrevemos a lei do crescimento e substituímos os dados iniciais. A lei geral é
\mathrm{Q}(t)=\mathrm{Q}_{0}\cdot e^{\mathrm{kt}}.
Substituindo \mathrm{Q}_{0}=3000 obtemos a expressão específica da cultura:
\mathrm{Q}(t)=3000\cdot e^{\mathrm{kt}}.

Passo 3

Usamos a informação de que, em t=10 minutos, \mathrm{Q}(10)=9000. Substituindo na fórmula:
9000 = 3000\cdot e^{10\mathrm{k}}.
Esse é um passo-chave: a equação relaciona a constante \mathrm{k} que precisamos determinar.

Passo 4

Simplificamos a equação do passo anterior dividindo ambos os lados por 3000:
\frac{9000}{3000} = e^{10\mathrm{k}} \quad\Rightarrow\quad 3 = e^{10\mathrm{k}}.
Agora aplicamos o logaritmo natural (ln), que é a função inversa de e^{x}. Lembre que \ln(e^{x})=x. Aplicando \ln aos dois lados:
\ln 3 = \ln\bigl(e^{10\mathrm{k}}\bigr) = 10\mathrm{k}.
Desse modo achamos \mathrm{k}:
\mathrm{k} = \frac{\ln 3}{10}.
Comentário didático: \ln é o logaritmo na base e. Aqui serviu para “descolar” o expoente 10\mathrm{k}.

Passo 5

Queremos \mathrm{Q}(40). Voltando à fórmula com \mathrm{Q}_{0}=3000 e substituindo \mathrm{k}=\dfrac{\ln 3}{10}:
\mathrm{Q}(40)=3000\cdot e^{40\cdot \frac{\ln 3}{10}}.

Passo 6

Simplificamos o expoente. Primeiro calculamos 40\cdot \dfrac{\ln 3}{10}=4\ln 3. Então
\mathrm{Q}(40)=3000\cdot e^{4\ln 3}.
Usamos a propriedade de exponenciais \;e^{a\ln b}=(e^{\ln b})^{a}=b^{a}\; (válida para b>0). Aplicando com a=4 e b=3:
e^{4\ln 3}=(e^{\ln 3})^{4}=3^{4}.
Portanto
\mathrm{Q}(40)=3000\cdot 3^{4}.

Passo 7

Calculamos 3^{4} e multiplicamos por 3000. Temos 3^{2}=9, 3^{3}=27, 3^{4}=81. Então
\mathrm{Q}(40)=3000\cdot 81.
Agora multiplicamos: 3000\cdot 80=240000 e 3000\cdot 1=3000, somando dá 243000.

Passo 8

Verificação intuitiva (cheia de boa vontade): como a população passa de 3000 para 9000 em 10 minutos, ela é multiplicada por 3 a cada 10 minutos. Em 40 minutos ocorrem quatro desses intervalos de 10 minutos, então o fator total é 3^{4}=81, e 3000\cdot 81=243000. Confere com o cálculo anterior.

Resposta

243000

Exercícios relacionados