QUESTÃO 25
Considere que, em condições ideais, o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t , de acordo com a lei de formação
, sendo:
uma constante que depende da natureza das bactérias; o número irracional
vale aproximadamente 2,718 ; e
é a quantidade inicial de bactérias. Se nessa cultura há inicialmente 3.000 bactérias e, 10 minutos depois, há 9.000 bactérias, quantas bactérias estarão presentes depois de 40 minutos?
A) 360.000
B) 243.000
C) 240.000
D) 120.000
A) 360.000
B) 243.000
C) 240.000
D) 120.000
Passo 1
O enunciado pede que calculemos quantas bactérias haverá depois de 40 minutos, sabendo que o crescimento é exponencial segundo a lei
. Dados fornecidos pelo enunciado:
(quantidade inicial),
(quantidade após 10 minutos),
é constante desconhecida.
O objetivo: encontrar .
O objetivo: encontrar
Passo 2
Escrevemos a lei do crescimento e substituímos os dados iniciais. A lei geral é
Substituindo
obtemos a expressão específica da cultura:
Passo 3
Usamos a informação de que, em
minutos,
. Substituindo na fórmula:
Esse é um passo-chave: a equação relaciona a constante
que precisamos determinar.
Passo 4
Simplificamos a equação do passo anterior dividindo ambos os lados por
:
Agora aplicamos o logaritmo natural (ln), que é a função inversa de
. Lembre que
. Aplicando
aos dois lados:
Desse modo achamos
:
Comentário didático:
é o logaritmo na base
. Aqui serviu para “descolar” o expoente
.
Passo 5
Queremos
. Voltando à fórmula com
e substituindo
:
Passo 6
Simplificamos o expoente. Primeiro calculamos
. Então
Usamos a propriedade de exponenciais
(válida para
). Aplicando com
e
:
Portanto
Passo 7
Calculamos
e multiplicamos por
. Temos
,
,
. Então
Agora multiplicamos:
e
, somando dá
.
Passo 8
Verificação intuitiva (cheia de boa vontade): como a população passa de
para
em
minutos, ela é multiplicada por
a cada
minutos. Em
minutos ocorrem quatro desses intervalos de
minutos, então o fator total é
, e
. Confere com o cálculo anterior.
Resposta
243000