QUESTÃO 24

Qual o número de anagramas da palavra VESTIBULAR que começam por vogal?
A) 40.320
B) 161.280
C) 362.880
D) 1.451 .520

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual o número de anagramas da palavra VESTIBULAR que começam por vogal?”\n
Informações relevantes dadas no enunciado:\n
  • A palavra é “VESTIBULAR”.\n
  • Precisamos contar anagramas (todas as permutações das letras) que têm uma vogal na primeira posição.\n
  • As letras da palavra (com suas quantidades) são \,V:1,\;E:1,\;S:1,\;T:1,\;I:1,\;B:1,\;U:1,\;L:1,\;A:1,\;R:1\,.\n
    (Anotei explicitamente as letras e suas quantidades porque isso é importante para saber se há letras repetidas.)

Passo 2

Entendendo o que é um anagrama e como contar: quando todas as letras são distintas, cada anagrama corresponde a uma permutação das \,n\, letras, e o número total de permutações é dado por \,n!\, (lê-se "fatorial de n").\n
O fatorial \,n!\, é definido como o produto dos inteiros positivos de 1 até n:\n
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1.
Exemplo concreto e pequeno para fixar: para a palavra “ABC” (todas letras distintas, \,n=3\,) temos \,3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6\, anagramas: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Isso ilustra por que usamos o fatorial.

Passo 3

Verificação prática para este problema: a palavra “VESTIBULAR” tem \,10\, letras e, como listei antes, todas as letras aparecem uma vez (não há repetição). Portanto o número total de anagramas sem restrição seria \,10!\, (mas não precisamos desse total agora, apenas é útil saber que as letras são distintas).\n
Agora identifique as vogais que aparecem na palavra: as vogais são \,E,\;I,\;U,\;A\,. Portanto há exatamente \,4\, vogais distintas na palavra.

Passo 4

Estratégia de contagem para “começam por vogal”: primeiro escolhemos qual vogal ficará na primeira posição; depois permutamos livremente as demais letras nas posições restantes.\n
  • Número de escolhas para a primeira posição = \,4\, (as vogais \,E,I,U,A\,).\n
  • Depois de fixar a primeira letra, restam \,9\, letras distintas para ordenar nas \,9\, posições restantes, o que pode ser feito de \,9!\, maneiras.\n
    Pela regra do produto (princípio fundamental da contagem), o total de anagramas que começam por vogal é
4 \times 9!.

Passo 5

Calcule \,9!\, passo a passo (para você conseguir fazer sem calculadora):\n
9! = 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.
Vamos multiplicar em etapas fáceis:\n
9\cdot 8 = 72,
72\cdot 7 = 504,
504\cdot 6 = 3024,
3024\cdot 5 = 15120,
15120\cdot 4 = 60480,
60480\cdot 3 = 181440,
181440\cdot 2 = 362880,
362880\cdot 1 = 362880.
Portanto \,9! = 362880\,.

Passo 6

Multiplique pelo número de escolhas para a vogal inicial:\n
4 \times 9! = 4 \times 362880.
Calcule por etapas (dobrar duas vezes é prático):\n
362880 \times 2 = 725760,
725760 \times 2 = 1451520.
Logo o total é \,1451520\,.

Passo 7

Compare esse resultado com as alternativas: \,1.451.520\, é a alternativa (D). Parabéns — conseguimos chegar ao número com passos claros e sem pular contas!

Resposta

1.451.520 (D)

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