Questão 25 (IME 75/76) Considere as matrizes A e B apresentadas abaixo:
A=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & c \\\\ 0 & b & 0 \\\ a & 0 & 0 \end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{rrr} 16 & 0 & 10 \\\\ 0 & 25 & 0 \\\\ 6 & 0 & 16 \end{array}\right]
onde a, b, c>0. Determine A^{-1}, sabendo que A^{2}+2 A+I_{3}=B.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & c\\\\ 0 & b & 0\\\ a & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 16 & 0 & 10\\\\ 0 & 25 & 0\\\\ 6 & 0 & 16 \end{pmatrix},
com a,b,c>0, e afirma que
A^{2}+2A+I_{3}=B.
O objetivo é determinar A^{-1}. Vamos usar álgebra de matrizes, calculando A^2, extraindo a,b,c da relação e, por fim, achar a inversa de A.

Passo 2

Calculemos A^2. Como
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & c\\\\ 0 & b & 0\\\ a & 0 & 0 \end{pmatrix},
temos
A^{2} =\begin{pmatrix} 0\cdot0+0\cdot0+c\cdot a & 0 & 0\\\\ 0 & b^{2} & 0\\\\ 0 & 0 & a\cdot c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ac & 0 & 0\\\\ 0 & b^{2} & 0\\\\ 0 & 0 & ac \end{pmatrix}.

Passo 3

Da equação
A^{2}+2A+I_{3}=B
comparamos entradas:
  1. Posição (1,1): \;ac+1=16 \implies ac=15.
  2. Posição (1,3): \;2c=10 \implies c=5.
  3. Posição (2,2): \;b^{2}+2b+1=25 \implies(b+1)^{2}=25 \implies b=4 (pois b>0).
  4. Posição (3,1): \;2a=6 \implies a=3. Verifica-se que em (3,3) fica ac+1=16, OK.

Passo 4

Agora A vale
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 5\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Para inverter A, notamos que a única forma de obter a identidade ao multiplicar por X=(x_{ij}) é ter
A\,X=I_{3} \;\Longrightarrow\; X=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1/a\\\\ 0 & 1/b & 0\\\\ 1/c & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Substituindo a=3, b=4, c=5 resulta

Resposta

A^{-1} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & \tfrac{1}{3}\\\\ 0 & \tfrac{1}{4} & 0\\\ \tfrac{1}{5} & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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