Questão 26 Calcule o posto e a nulidade das matrizes abaixo:
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
e pede o posto (rank) de A e a nulidade (nullity) de A. Vamos usar a redução por linhas para encontrar o número de pivôs e depois aplicar o teorema do posto e nulidade, que diz
\dim\ker(A) = n - \rank(A),
onde n=3 é o número de colunas.

Passo 2

Vamos reduzir A a uma forma escalonada:
Tomamos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Em seguida, somamos R_2 em R_3:
R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na forma escalonada final vemos que há três linhas não nulas, ou seja, há três pivôs (um em cada coluna, nas posições correspondentes). Logo
\rank(A) = 3.

Passo 4

Pelo teorema do posto e nulidade, como A tem n=3 colunas,
\dim\ker(A) = n - \rank(A) = 3 - 3 = 0.

Resposta

O posto de A é 3 e a nulidade de A é 0.

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