Questão 26 Calcule o posto e a nulidade das matrizes abaixo:
B=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 2 & 1 \\\\ 2 & -4 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 2 & 2 & 1\\\\ 2 & -4 & 6 \end{pmatrix}
e pede o posto (rank) e a nulidade (dimensão do núcleo). Vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto e depois aplicar o teorema do posto e da nulidade:
\dim(\text{domínio}) = \text{posto}(B) + \text{nulidade}(B).í

Passo 2

Aplicamos operações elementares: usamos o pivô da primeira linha para zerar abaixo:
  • L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 - L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1
    Isso leva à forma
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 6 & -5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

A forma escalonada tem duas linhas não nulas, logo
\text{posto}(B) = 2.

Passo 4

Como B é 3\times3, o domínio tem dimensão 3. Pelo teorema do posto e da nulidade,
3 = \text{posto}(B) + \text{nulidade}(B) \quad\Longrightarrow\quad \text{nulidade}(B) = 3 - 2 = 1.

Resposta

\text{posto}(B)=2 \text{nulidade}(B)=1

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