Questão 26 Calcule o posto e a nulidade das matrizes abaixo: B=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 2 & 1 \\\\ 2 & -4 & 6\end{array}\right] Passo 1O enunciado dá a matriz B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 2 & 2 & 1\\\\ 2 & -4 & 6 \end{pmatrix} e pede o posto (rank) e a nulidade (dimensão do núcleo). Vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto e depois aplicar o teorema do posto e da nulidade: \dim(\text{domínio}) = \text{posto}(B) + \text{nulidade}(B).í Passo 2Aplicamos operações elementares: usamos o pivô da primeira linha para zerar abaixo: L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 - L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1 Isso leva à forma \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 6 & -5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Passo 3A forma escalonada tem duas linhas não nulas, logo \text{posto}(B) = 2. Passo 4Como B é 3\times3, o domínio tem dimensão 3. Pelo teorema do posto e da nulidade, 3 = \text{posto}(B) + \text{nulidade}(B) \quad\Longrightarrow\quad \text{nulidade}(B) = 3 - 2 = 1. Resposta \text{posto}(B)=2 \text{nulidade}(B)=1 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuestão 26 Calcule o posto e a nulidade das matrizes abaixo: A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right] Questão 25 (IME 75/76) Considere as matrizes A e B apresentadas abaixo: A=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & c \\\\ 0 & b & 0 \\\ a & 0 & 0 \end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{rrr} 16 & 0 & 10 \\\\ 0 & 25 & 0 \\\\ 6 & 0 & 16 \end{array}\right] onde a, b, c>0. Determine A^{-1}, sabendo que A^{2}+2 A+I_{3}=B. Questão 26 Calcule o posto e a nulidade das matrizes abaixo: C=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & -1 & 3\end{array}\right] Questão 27 (OBM-2006) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, tais que, para todo inteiro positivo k tem-se que (A+B)^{k}=A^{k}+B^{k}. Prove que se A é inversível então B é a matriz nula.