Questão 1: ( 1,25 pontos cada) Calcule os limites \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2 x}{\sqrt{1-3 x}-1}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{1-3x}-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
A expressão no numerador é \;x^{2}+2x\;.
A expressão no denominador é \;\sqrt{1-3x}-1\;.
Avaliando em x=0: \;x^{2}+2x\big|_{x=0}=0\; e \;\sqrt{1-3x}-1\big|_{x=0}=\sqrt{1}-1=0\;.
Portanto temos uma forma indefinida do tipo \;0/0\;. A partir daqui vamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação e calcular o limite.
Passo 2
Conceito e estratégia (explicação didática): quando aparece uma raiz no denominador e temos indeterminação 0/0, um truque muito usado é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de \sqrt{1-3x}-1 é \sqrt{1-3x}+1. Multiplicar pela razão \dfrac{\sqrt{1-3x}+1}{\sqrt{1-3x}+1} é válido porque essa razão vale 1 (para x onde o denominador não é zero), e ajuda a eliminar a raiz do denominador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Passo 3
Aplicando o conjugado e calculando algebraicamente:
Para x próximo de 0 (mas x\neq0) podemos cancelar o fator x em cima e embaixo, obtendo
\frac{(x+2)\,(\sqrt{1-3x}+1)}{-3}.
(A justificativa: o cancelamento é permitido porque estamos calculando um limite e, na vizinhança de 0, os valores de x que importam para o limite são diferentes de zero. Depois da simplificação podemos avaliar a expressão contínua resultante em x=0.)
Passo 5
Avaliação do limite usando continuidade: a função \sqrt{\cdot} é contínua onde seu argumento é positivo, e polinômios são contínuos, logo o produto e quociente (por constante não nula) são contínuos. Assim podemos substituir x=0 na expressão simplificada:
Comentário extra (dica rápida): outra forma de ver isso é usar a expansão em série de primeira ordem \sqrt{1-3x}\approx 1-\tfrac{3}{2}x para pequenos x; substituindo na expressão original obtém-se \dfrac{2x+\text{ord}(x^{2})}{-(3/2)x+\text{ord}(x^{2})}\approx \dfrac{2x}{-(3/2)x}=-\tfrac{4}{3}, que confirma o resultado anterior.