Calcule as integrais iteradas.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{2}\left(y+2 x e^{y}\right) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{0}^{2}\left(y+2x e^{y}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é x com limites 0 a 2.
  • A variável de integração externa é y com limites 1 a 2.
  • A função a integrar é y+2x e^{y}.

Passo 2

Estratégia: primeiro calcular a integral interna em x, tratando y como constante (porque, ao integrar em x, y não depende de x). Usamos que a integral da soma é a soma das integrais e que constantes podem sair da integral.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{2}\left(y+2x e^{y}\right)\,dx = \int_{0}^{2} y\,dx + \int_{0}^{2} 2x e^{y}\,dx.
Agora cada termo:
  • Para o primeiro termo, y é constante em relação a x, então
\int_{0}^{2} y\,dx = y\cdot x\Big|_{0}^{2} = 2y.
  • Para o segundo termo, e^{y} é constante em relação a x, então
\int_{0}^{2} 2x e^{y}\,dx = 2e^{y}\int_{0}^{2} x\,dx = 2e^{y}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = e^{y}\cdot 4 = 4e^{y}.
Somando os dois resultados:
\int_{0}^{2}\left(y+2x e^{y}\right)\,dx = 2y + 4e^{y}.

Passo 3

Agora integramos o resultado em y nos limites 1 a 2:
\int_{1}^{2}\left(2y + 4e^{y}\right)\,dy.
Integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2}.
  • \displaystyle \int 4e^{y}\,dy = 4e^{y}.
Portanto uma primitiva é y^{2}+4e^{y}. Avaliando de 1 a 2:
\left(y^{2}+4e^{y}\right)\Big|_{1}^{2} = \big(4+4e^{2}\big) - \big(1+4e\big) = 3 + 4\big(e^{2}-e\big).

Passo 4

Interpretação final e dica rápida de prova: o procedimento foi integrar primeiro em x (tratando y como constante) e depois em y. Em provas, sempre verifique a ordem das integrais e identifique quais símbolos são constantes na integração interna — isso simplifica muito os cálculos.

Resposta

3 + 4\big(e^{2}-e\big)

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