Calcule as integrais iteradas.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- O intervalo externo é
. - Para cada
, a integral interna é em com . - A integranda da integral interna é
, que depende de mas não depende de .
O que se pede: encontrar o valor numérico desta integral dupla iterada.
Passo 2
Observação importante sobre integrais em que a função não depende de uma das variáveis de integração: se uma função
não depende de
, então
Aqui a função dentro da integral interna é
, que não depende de
. Aplicando a regra acima com
e
temos
Explicando de forma simples: integrar em
uma função que é constante em
apenas multiplica essa “constante” pelo comprimento do intervalo de
.
Passo 3
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 4
Para calcular
usamos a mudança de variável (substituição):
- Defina
- Então
, ou seja - As novas limites: quando
tem-se ; quando tem-se .
Aplicando a substituição na integral:
Aqui foi trocada a variável
por
e os limites foram ajustados.
Passo 5
Agora integramos
. Uma primitiva de
é
. Portanto
Como
, a expressão acima simplifica-se para um único termo, que apresento na seção de resposta.