Calcule as integrais iteradas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \cos \left(x^{2}\right) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo externo é x\in[0,1].
  • Para cada x, a integral interna é em y com y\in[0,x].
  • A integranda da integral interna é \cos\!\left(x^{2}\right), que depende de x mas não depende de y.
O que se pede: encontrar o valor numérico desta integral dupla iterada.

Passo 2

Observação importante sobre integrais em que a função não depende de uma das variáveis de integração: se uma função g(x) não depende de y, então
\int_{a}^{b} g(x)\,dy = g(x)\cdot (b-a).
Aqui a função dentro da integral interna é \cos\!\left(x^{2}\right), que não depende de y. Aplicando a regra acima com a=0 e b=x temos
\int_{0}^{x}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dy = \cos\!\left(x^{2}\right)\cdot (x-0) = x\cos\!\left(x^{2}\right).
Explicando de forma simples: integrar em y uma função que é constante em y apenas multiplica essa “constante” pelo comprimento do intervalo de y.

Passo 3

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dy\,dx = \int_{0}^{1} x\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx usamos a mudança de variável (substituição):
  • Defina \;u = x^{2}.
  • Então \;du = 2x\,dx, ou seja \;x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du.
  • As novas limites: quando x=0 tem-se u=0; quando x=1 tem-se u=1.
Aplicando a substituição na integral:
\int_{0}^{1} x\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du.
Aqui foi trocada a variável x por u e os limites foram ajustados.

Passo 5

Agora integramos \cos(u). Uma primitiva de \cos(u) é \sin(u). Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(\sin(1)-\sin(0)\bigr).
Como \sin(0)=0, a expressão acima simplifica-se para um único termo, que apresento na seção de resposta.

Resposta

\dfrac{1}{2}\sin(1)

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