Questão 1: ( 1,25 pontos cada) Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão no numerador é
. - A expressão no denominador é
(i.e. ). - Ao substituir
obtemos numerador e denominador , então o limite tem forma indeterminada .
A tarefa é transformar essa expressão de modo a avaliar o limite e justificar cada passo com limites/fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro passo de resolução: fazer uma mudança de variável simples para clarear a indeterminação. Defina
Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em termos de
obtemos
Então o limite original é equivalente a
Passo 3
Agora vamos usar limites básicos conhecidos que são ferramentas padrão em provas:
- Limite trigonométrico fundamental:
Isto significa que, para pequenos
,
comporta-se aproximadamente como
.
- Limite para exponencial/funcão potência: para
,
Justificação rápida dessa segunda fórmula: escreva
. Então
Use a mudança
. Como
, segue que
No nosso caso
, portanto
.
Passo 4
Voltando ao limite
, manipulamos algébrica e estrategicamente para usar os limites do Passo 3. Escrevemos
Agora observe a segunda fração e manipule-a para aplicar o limite trigonométrico:
Sabendo que
implica
, temos
. Logo
Passo 5
Agora aplicamos os limites produto (produto de limites quando existem). Temos
Pelo Passo 3 o primeiro limite vale
. Pelo Passo 4 o segundo limite vale
. Portanto o limite desejado é
Passo 6
Comentário extra (método alternativo rápido): poderia também aplicar a Regra de L’Hôpital porque a forma é
. Diferenciando numerador e denominador em relação a
obtemos
Avaliando em
dá
, mesma resposta. A razão de ter usado a técnica do Passo 3–5 é que ela usa limites fundamentais (mais elementar e rápido sem recorrer formalmente a L’Hôpital) — boa opção em prova se lembrar dos limites padrão.