Questão 1: ( 1,25 pontos cada) Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{5^{x-2}-1}{\operatorname{sen}[3 x-6]}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{5^{x-2}-1}{\operatorname{sen}[3x-6]}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão no numerador é 5^{x-2}-1.
  • A expressão no denominador é \operatorname{sen}[3x-6] (i.e. \sin(3x-6)).
  • Ao substituir x=2 obtemos numerador 5^{0}-1=0 e denominador \sin(0)=0, então o limite tem forma indeterminada \frac{0}{0}.
    A tarefa é transformar essa expressão de modo a avaliar o limite e justificar cada passo com limites/fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro passo de resolução: fazer uma mudança de variável simples para clarear a indeterminação. Defina
h = x-2.
Quando x \to 2 temos h \to 0. Reescrevendo a expressão em termos de h obtemos
\frac{5^{x-2}-1}{\sin(3x-6)} = \frac{5^{h}-1}{\sin(3h)}.
Então o limite original é equivalente a
\lim_{h\to 0} \frac{5^{h}-1}{\sin(3h)}.

Passo 3

Agora vamos usar limites básicos conhecidos que são ferramentas padrão em provas:
  • Limite trigonométrico fundamental:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Isto significa que, para pequenos t, \sin t comporta-se aproximadamente como t.
  • Limite para exponencial/funcão potência: para a>0,
\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}=\ln a.
Justificação rápida dessa segunda fórmula: escreva a^{h}=e^{h\ln a}. Então
\frac{a^{h}-1}{h}=\frac{e^{h\ln a}-1}{h}.
Use a mudança u=h\ln a. Como \lim_{u\to0}\dfrac{e^{u}-1}{u}=1, segue que
\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\ln a=1\cdot\ln a=\ln a.
No nosso caso a=5, portanto \lim_{h\to0}\dfrac{5^{h}-1}{h}=\ln 5.

Passo 4

Voltando ao limite \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{5^{h}-1}{\sin(3h)}, manipulamos algébrica e estrategicamente para usar os limites do Passo 3. Escrevemos
\frac{5^{h}-1}{\sin(3h)}=\frac{5^{h}-1}{h}\cdot\frac{h}{\sin(3h)}.
Agora observe a segunda fração e manipule-a para aplicar o limite trigonométrico:
\frac{h}{\sin(3h)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3h}{\sin(3h)}.
Sabendo que \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1 implica \lim_{u\to0}\dfrac{u}{\sin u}=1, temos \lim_{h\to0}\dfrac{3h}{\sin(3h)}=1. Logo
\lim_{h\to0}\frac{h}{\sin(3h)}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Agora aplicamos os limites produto (produto de limites quando existem). Temos
\lim_{h\to0}\frac{5^{h}-1}{\sin(3h)} =\left(\lim_{h\to0}\frac{5^{h}-1}{h}\right)\cdot\left(\lim_{h\to0}\frac{h}{\sin(3h)}\right).
Pelo Passo 3 o primeiro limite vale \ln 5. Pelo Passo 4 o segundo limite vale \dfrac{1}{3}. Portanto o limite desejado é
\ln 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{\ln 5}{3}.

Passo 6

Comentário extra (método alternativo rápido): poderia também aplicar a Regra de L’Hôpital porque a forma é \frac{0}{0}. Diferenciando numerador e denominador em relação a x obtemos
\frac{d}{dx}(5^{x-2}-1)=5^{x-2}\ln 5, \qquad \frac{d}{dx}\sin(3x-6)=3\cos(3x-6).
Avaliando em x=2 \dfrac{1\cdot\ln 5}{3\cdot 1}=\dfrac{\ln 5}{3}, mesma resposta. A razão de ter usado a técnica do Passo 3–5 é que ela usa limites fundamentais (mais elementar e rápido sem recorrer formalmente a L’Hôpital) — boa opção em prova se lembrar dos limites padrão.

Resposta

\dfrac{\ln 5}{3}

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