Questão 1: ( 1,25 pontos cada) Calcule os limites
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado pede calcular o limite quando
da expressão
Portanto a pergunta é: encontrar
Não há outras informações adicionais; só precisamos manipular essa expressão para reconhecer um limite conhecido que envolve a constante
.
Passo 2
Mudança de variável para simplificar a forma. Uma técnica comum é eliminar as constantes que atrapalham a aparência padrão do limite. Faço a troca
então quando
temos
. Em termos de
a expressão fica
Assim o limite procurado é
Passo 3
Separar a potência para usar um limite padrão. Posso escrever
Logo
desde que ambos os limites existam finitos (o que vamos verificar).
Passo 4
Avaliar o segundo fator, que é simples. Temos
Isso porque
quando
.
Passo 5
Avaliar o primeiro fator usando o limite exponencial padrão. O limite conhecido e útil é
onde
é constante. Vou justificar rapidamente esse resultado de forma didática:
Considere
Usamos a expansão ou o limite fundamental
. Com
vem
quando
, então
Portanto
e exponenciando ambos os lados obtemos
No nosso caso
, logo
Passo 6
Combinar os resultados dos fatores. Do Passo 4 e do Passo 5 temos