Questão 1: ( 1,25 pontos cada) Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{4}{x-2}\right)^{x-3}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado pede calcular o limite quando x\to\infty da expressão
\left(1+\frac{4}{x-2}\right)^{x-3}.
Portanto a pergunta é: encontrar
L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{4}{x-2}\right)^{x-3}.
Não há outras informações adicionais; só precisamos manipular essa expressão para reconhecer um limite conhecido que envolve a constante e.

Passo 2

Mudança de variável para simplificar a forma. Uma técnica comum é eliminar as constantes que atrapalham a aparência padrão do limite. Faço a troca
t=x-2,
então quando x\to\infty temos t\to\infty. Em termos de t a expressão fica
\left(1+\frac{4}{x-2}\right)^{x-3}=\left(1+\frac{4}{t}\right)^{t-1}.
Assim o limite procurado é
L=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)^{t-1}.

Passo 3

Separar a potência para usar um limite padrão. Posso escrever
\left(1+\frac{4}{t}\right)^{t-1}=\left(1+\frac{4}{t}\right)^{t}\cdot\left(1+\frac{4}{t}\right)^{-1}.
Logo
L=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)^{t}\cdot\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)^{-1},
desde que ambos os limites existam finitos (o que vamos verificar).

Passo 4

Avaliar o segundo fator, que é simples. Temos
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)^{-1}=\left(\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)\right)^{-1}=1^{-1}=1.
Isso porque \dfrac{4}{t}\to0 quando t\to\infty.

Passo 5

Avaliar o primeiro fator usando o limite exponencial padrão. O limite conhecido e útil é
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{a}{t}\right)^{t}=e^{a},
onde a é constante. Vou justificar rapidamente esse resultado de forma didática:
Considere
\ln\left[\left(1+\frac{a}{t}\right)^{t}\right]=t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right).
Usamos a expansão ou o limite fundamental \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1. Com u=\dfrac{a}{t} vem u\to0 quando t\to\infty, então
t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right)=\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot a \longrightarrow 1\cdot a = a.
Portanto
\lim_{t\to\infty}t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right)=a,
e exponenciando ambos os lados obtemos
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{a}{t}\right)^{t}=e^{a}.
No nosso caso a=4, logo
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)^{t}=e^{4}.

Passo 6

Combinar os resultados dos fatores. Do Passo 4 e do Passo 5 temos
L=\left(\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)^{t}\right)\cdot\left(\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)^{-1}\right)=e^{4}\cdot 1=e^{4}.

Resposta

e^{4}

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