O que é pedido: resolver o problema de valor inicial, ou seja, achar a solução geral (implícita ou explícita) da equação e aplicar a condição inicial para obter a solução que passa pelo ponto (0,0).
Passo 2
Verificar se a 1-forma é exata — isto nos dará um método direto para encontrar uma potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=0.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} para todos (x,y), a 1-forma é exata. Isso significa que existe uma função \Phi(x,y) com
d\Phi = M\,dx + N\,dy,
e as soluções da ED estão dadas implicitamente por \Phi(x,y)=C.
Passo 3
Explicar o procedimento para achar \Phi. Aula curta e prática:
Se d\Phi = M\,dx+N\,dy e M for vista como \partial \Phi/\partial x, então podemos integrar M em relação a x tratando y como constante.
Depois diferenciamos o resultado em relação a y e igualamos a N para determinar a parte que depende só de y.
Vamos aplicar.
Passo 4
Integre M(x,y) em relação a x (com y constante):
Primeiro termo:
\int \cos(x)\operatorname{sen}(x)\,dx.
Observação: \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)=\cos(x), então \cos(x)\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(x)\cdot \operatorname{sen}'(x) e uma primitiva é
Para y real, o lado direito deve ser \ge 0. Note que \operatorname{sen}^{2}(x)\ge 0 sempre, então o quociente -\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{1-x^{2}} é \ge 0 quando 1-x^{2}\le 0, isto é, quando |x|\ge 1; ou quando \operatorname{sen}(x)=0, caso em que o numerador é 0 e então y=0.
Em particular, para x perto de 0 (ou seja |x|<1 e \operatorname{sen}(x)\neq 0), o lado direito é negativo e não existe y\in\mathbb{R} satisfazendo a igualdade. O ponto (0,0) pertence ao nível C'=0, mas não há curva y(x) real e diferenciável passando por (0,0) que satisfaça a equação em um intervalo aberto contendo 0, exceto em pontos isolados onde \operatorname{sen}(x)=0.
Comentário pelo teorema da função implícita: para obter uma função y(x) localmente a partir da relação \Phi(x,y)=0 é necessário \partial\Phi/\partial y\neq 0 no ponto. Aqui
Entretanto, essa relação não determina uma função y(x) real e diferenciável em nenhuma vizinhança de x=0 (exceto em pontos isolados onde \operatorname{sen} x=0). Portanto, não existe solução real y(x) definida em um intervalo aberto contendo 0 que satisfaça a ED e a condição inicial.
Força aí — a equação se comportou de forma “singular” no ponto inicial, por isso não aparece uma solução clássica passando por (0,0).
Com y(0)=0 obtém-se C'=0, ou seja \operatorname{sen}^{2}(x)+y^{2}\bigl(1-x^{2}\bigr)=0. Não existe, porém, nenhuma função y(x) real e diferenciável definida em uma vizinhança de x=0 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.