2 à Questão(25,0 PONTOS): Resolva o problema de valor inicial equação diferencial:
\left(\cos (x) \operatorname{sen}(x)-x y^{2}\right) d x+y\left(1-x^{2}\right) d y=0, y(0)=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A equação diferencial (na forma de 1-forma) é
\left(\cos(x)\operatorname{sen}(x)-x y^{2}\right)\,dx + y\left(1-x^{2}\right)\,dy = 0.
  • A condição inicial é \,y(0)=0.
  • O que é pedido: resolver o problema de valor inicial, ou seja, achar a solução geral (implícita ou explícita) da equação e aplicar a condição inicial para obter a solução que passa pelo ponto (0,0).

Passo 2

Verificar se a 1-forma é exata — isto nos dará um método direto para encontrar uma potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=0.
Defina
M(x,y)=\cos(x)\operatorname{sen}(x)-x y^{2}, \qquad N(x,y)=y\left(1-x^{2}\right).
Calcule as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y} = -2xy, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y(1-x^{2})\bigr) = y\cdot(-2x) = -2xy.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} para todos (x,y), a 1-forma é exata. Isso significa que existe uma função \Phi(x,y) com
d\Phi = M\,dx + N\,dy,
e as soluções da ED estão dadas implicitamente por \Phi(x,y)=C.

Passo 3

Explicar o procedimento para achar \Phi. Aula curta e prática:
  • Se d\Phi = M\,dx+N\,dy e M for vista como \partial \Phi/\partial x, então podemos integrar M em relação a x tratando y como constante.
  • Depois diferenciamos o resultado em relação a y e igualamos a N para determinar a parte que depende só de y.
Vamos aplicar.

Passo 4

Integre M(x,y) em relação a x (com y constante):
Primeiro termo:
\int \cos(x)\operatorname{sen}(x)\,dx.
Observação: \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)=\cos(x), então \cos(x)\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(x)\cdot \operatorname{sen}'(x) e uma primitiva é
\int \cos(x)\operatorname{sen}(x)\,dx = \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}(x).
Segundo termo:
\int -x y^{2}\,dx = -y^{2}\int x\,dx = -y^{2}\cdot \tfrac{x^{2}}{2}.
Somando e acrescentando uma função arbitrária de y, obtemos
\Phi(x,y)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}(x) - \tfrac{1}{2}x^{2}y^{2} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \partial \Phi/\partial y = N(x,y).
Calcule \partial \Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -x^{2}y + h'(y).
Igualando a N(x,y)=y(1-x^{2}) = y - x^{2}y, obtemos
-x^{2}y + h'(y) = y - x^{2}y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=y.
Integre h'(y)=y:
h(y)=\tfrac{1}{2}y^{2} + \text{const}.
Podemos incorporar a constante final na constante C da solução implícita. Assim uma potencial conveniente é
\Phi(x,y)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}(x) - \tfrac{1}{2}x^{2}y^{2} + \tfrac{1}{2}y^{2}.

Passo 6

Escreva a solução implícita geral \Phi(x,y)=C. Multiplicando por 2 para simplificar:
\operatorname{sen}^{2}(x) + y^{2}\bigl(1-x^{2}\bigr) = C',
onde C'=2C é a constante arbitrária da família de curvas solução.
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=0 para determinar C'.
Substitua x=0 e y=0 na expressão:
\operatorname{sen}^{2}(0) + 0^{2}\bigl(1-0^{2}\bigr) = 0 + 0 = 0.
Portanto C'=0. A curva solução que passa por (0,0) satisfaz
\operatorname{sen}^{2}(x) + y^{2}\bigl(1-x^{2}\bigr) = 0.

Passo 8

Tentar isolar y e discutir existência real das soluções.
Da igualdade obtida,
y^{2}\bigl(1-x^{2}\bigr) = -\operatorname{sen}^{2}(x),
logo
y^{2} = -\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{1-x^{2}}.
Para y real, o lado direito deve ser \ge 0. Note que \operatorname{sen}^{2}(x)\ge 0 sempre, então o quociente -\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{1-x^{2}} é \ge 0 quando 1-x^{2}\le 0, isto é, quando |x|\ge 1; ou quando \operatorname{sen}(x)=0, caso em que o numerador é 0 e então y=0.
Em particular, para x perto de 0 (ou seja |x|<1 e \operatorname{sen}(x)\neq 0), o lado direito é negativo e não existe y\in\mathbb{R} satisfazendo a igualdade. O ponto (0,0) pertence ao nível C'=0, mas não há curva y(x) real e diferenciável passando por (0,0) que satisfaça a equação em um intervalo aberto contendo 0, exceto em pontos isolados onde \operatorname{sen}(x)=0.
Comentário pelo teorema da função implícita: para obter uma função y(x) localmente a partir da relação \Phi(x,y)=0 é necessário \partial\Phi/\partial y\neq 0 no ponto. Aqui
\frac{\partial\Phi}{\partial y}(0,0)=y(1-x^{2})\big|_{(0,0)}=0,
logo a hipótese do teorema falha e não se consegue garantir a existência de uma função y(x) local e única passando por (0,0).

Passo 9

Conclusão prática e interpretação final (curta e direta):
  • A solução implícita geral é
\operatorname{sen}^{2}(x) + y^{2}\bigl(1-x^{2}\bigr) = C'.
  • A condição inicial y(0)=0 leva a C'=0, ou seja a curva nível
\operatorname{sen}^{2}(x) + y^{2}\bigl(1-x^{2}\bigr) = 0.
  • Entretanto, essa relação não determina uma função y(x) real e diferenciável em nenhuma vizinhança de x=0 (exceto em pontos isolados onde \operatorname{sen} x=0). Portanto, não existe solução real y(x) definida em um intervalo aberto contendo 0 que satisfaça a ED e a condição inicial.
Força aí — a equação se comportou de forma “singular” no ponto inicial, por isso não aparece uma solução clássica passando por (0,0).

Resposta

Solução geral implícita: \operatorname{sen}^{2}(x)+y^{2}\bigl(1-x^{2}\bigr)=C'.
Com y(0)=0 obtém-se C'=0, ou seja \operatorname{sen}^{2}(x)+y^{2}\bigl(1-x^{2}\bigr)=0. Não existe, porém, nenhuma função y(x) real e diferenciável definida em uma vizinhança de x=0 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

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