Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
\int \frac{y}{e^{2 y}} d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{y}{e^{2y}}\,dy.
Informação útil extraída do enunciado:
  • A função integranda pode ser reescrita como y e^{-2y}.
  • A integral é indefinida (espera-se um antiderivado mais constante de integração).

Passo 2

Apresentando a técnica pedida: integração por partes.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se u=u(y) e v=v(y) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dy}\big(u\,v\big)=u'\,v+u\,v'.
Integrando ambos os lados obtemos a fórmula
\int u\,v'\,dy = u\,v - \int u'\,v\,dy.
Na notação usual de integração por partes escolhe-se u (a parte que derivamos) e dv (a parte que integramos), escrevendo
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
onde du = u'\,dy e v=\int dv.
Dica prática para escolher u e dv: escolha u como a parte que fica mais simples ao derivar (por exemplo um polinômio) e dv como a parte que é fácil de integrar (por exemplo uma exponencial).

Passo 3

Aplicando a escolha conveniente ao nosso integrando y e^{-2y}:
  • Escolhemos u = y. Então
du = dy.
  • Escolhemos dv = e^{-2y}\,dy. Precisamos calcular
v=\int e^{-2y}\,dy.
Para integrar e^{ay} usamos \int e^{ay}\,dy=\frac{1}{a}e^{ay}. Aqui a=-2, logo
v=\int e^{-2y}\,dy = \frac{1}{-2}e^{-2y} = -\tfrac{1}{2}e^{-2y}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula \int u\,dv = u\,v - \int v\,du:
\int y e^{-2y}\,dy = u\,v - \int v\,du = y\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2y}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2}e^{-2y}\right)\,dy.
Simplificando os sinais:
\int y e^{-2y}\,dy = -\tfrac{y}{2}e^{-2y} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2y}\,dy.

Passo 5

Calculamos a integral restante \int e^{-2y}\,dy (já feita no Passo 3):
\int e^{-2y}\,dy = -\tfrac{1}{2}e^{-2y}.
Substituindo em cima:
\int y e^{-2y}\,dy = -\tfrac{y}{2}e^{-2y} + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2y}\right) + C.
Agora simplificamos os coeficientes:
\int y e^{-2y}\,dy = -\tfrac{y}{2}e^{-2y} - \tfrac{1}{4}e^{-2y} + C.
Fatorando e^{-2y} fica mais compacto:
\int y e^{-2y}\,dy = -\tfrac{1}{4}(2y+1)e^{-2y} + C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando o resultado obtido deve retornar o integrando.
Se F(y)=-\tfrac{1}{4}(2y+1)e^{-2y} então, usando regra do produto e cadeia, obtém-se F'(y)=y e^{-2y}, o que confirma a antiderivada (constante C pode ser adicionada).

Resposta

-\tfrac{1}{4}(2y+1)e^{-2y}+C

Exercícios relacionados