Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informação útil extraída do enunciado:
- A função integranda pode ser reescrita como
. - A integral é indefinida (espera-se um antiderivado mais constante de integração).
Passo 2
Apresentando a técnica pedida: integração por partes.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se
e
são funções diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados obtemos a fórmula
Na notação usual de integração por partes escolhe-se
(a parte que derivamos) e
(a parte que integramos), escrevendo
onde
e
.
Dica prática para escolher
e
: escolha
como a parte que fica mais simples ao derivar (por exemplo um polinômio) e
como a parte que é fácil de integrar (por exemplo uma exponencial).
Passo 3
Aplicando a escolha conveniente ao nosso integrando
:
- Escolhemos
. Então
- Escolhemos
. Precisamos calcular
Para integrar
usamos
. Aqui
, logo
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula
:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Calculamos a integral restante
(já feita no Passo 3):
Substituindo em cima:
Agora simplificamos os coeficientes:
Fatorando
fica mais compacto:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando o resultado obtido deve retornar o integrando.
Se então, usando regra do produto e cadeia, obtém-se
, o que confirma a antiderivada (constante
pode ser adicionada).
Se