(FGV-SP)
Um capital de \mathrm{R} \ 12000,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de2,5 % ao mês durante 12 meses. Ao retirar o montante resultante da aplicação a pessoa terá descontado do juro da aplicaçãoêçãáçã7 % de imposto sobre aplicações financeiras envolvendo lucros maisçõ0,5 % de contribuição para obras relacionadas à saúde pública, segurança e educação, totalizandoçãàúúççã7,5 %$ de descontos. Calcule o valor líquido dessa aplicação, isto é, o valor debitado os impostos.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Capital inicial (principal): P=\mathrm{R}\$\,12000.
  • Taxa de juros compostos mensal: i=2{,}5\% ao mês, isto é i=0{,}025.
  • Prazo: n=12 meses.
  • Impostos descontados sobre o lucro (somente sobre os juros): 7{,}5\% no total, isto é taxa de desconto t=0{,}075.
O que o problema pede:
  • Calcular o valor líquido obtido ao final dos 12 meses, ou seja, o montante após os juros compostos e depois de deduzidos 7{,}5\% de impostos sobre o lucro (os impostos incidem apenas sobre o juro, não sobre o capital).

Passo 2

A fórmula básica de juros compostos é
A = P(1+i)^n,
onde:
  • A é o montante (capital + juros) ao final do período;
  • P é o capital inicial;
  • i é a taxa por período (em forma decimal);
  • n é o número de períodos.
Aqui P=\mathrm{R}\$\,12000, i=0{,}025 e n=12. Então precisamos calcular o fator (1+i)^n=(1{,}025)^{12}. Vou mostrar o cálculo do fator mês a mês (sem pular etapas) para ficar claro como obter esse número:
\begin{aligned} (1{,}025)^1 &= 1{,}025,\\[4pt] (1{,}025)^2 &= 1{,}025\cdot1{,}025=1{,}050625,\\[4pt] (1{,}025)^3 &= 1{,}050625\cdot1{,}025=1{,}076890625,\\[4pt] (1{,}025)^4 &= 1{,}076890625\cdot1{,}025=1{,}103812890625,\\[4pt] (1{,}025)^5 &= 1{,}103812890625\cdot1{,}025=1{,}131408212890625,\\[4pt] (1{,}025)^6 &= 1{,}131408212890625\cdot1{,}025=1{,}159693418212890625,\\[4pt] (1{,}025)^7 &= 1{,}159693418212890625\cdot1{,}025=1{,}188685753668212891,\\[4pt] (1{,}025)^8 &= 1{,}188685753668212891\cdot1{,}025=1{,}218402897509918213,\\[4pt] (1{,}025)^9 &= 1{,}218402897509918213\cdot1{,}025=1{,}248862969947666168,\\[4pt] (1{,}025)^{10} &= 1{,}248862969947666168\cdot1{,}025=1{,}280084544196357822,\\[4pt] (1{,}025)^{11} &= 1{,}280084544196357822\cdot1{,}025=1{,}312086657801266768,\\[4pt] (1{,}025)^{12} &= 1{,}312086657801266768\cdot1{,}025=1{,}344888824246298436. \end{aligned}
Portanto o fator composto é aproximadamente (1{,}025)^{12}\approx1{,}344888824246298436.]

Passo 3

Agora calculamos o montante bruto A usando a fórmula:
A = P(1+i)^n = 12000\cdot(1{,}025)^{12}.
Substituindo o fator obtido:
A \approx 12000\cdot1{,}344888824246298436 \approx \mathrm{R}\$\,16138{,}665890955581.
Arredondando para centavos (como é usual com dinheiro):
A \approx \mathrm{R}\$\,16.138{,}67.

Passo 4

O juro total obtido (lucro) é
J = A-P \approx 16138{,}665890955581-12000 = \mathrm{R}\$\,4.138{,}665890955581.
Arredondando para centavos:
J \approx \mathrm{R}\$\,4.138{,}67.

Passo 5

Os impostos (descontos) incidem apenas sobre o juro e totalizam t=0{,}075 (7,5%). Logo o valor dos impostos é
T = t\cdot J = 0{,}075\cdot J.
Substituindo J:
T \approx 0{,}075\cdot4138{,}665890955581 \approx \mathrm{R}\$\,310{,}3999418216686.
Arredondando para centavos:
T \approx \mathrm{R}\$\,310{,}40.

Passo 6

O juro líquido (após impostos) é
J_{\text{líquido}} = J - T = J(1-t) = J\cdot0{,}925.í
Calculando:
J_{\text{líquido}} \approx 4138{,}665890955581\cdot0{,}925 \approx \mathrm{R}\$\,3828{,}265949133912.í
Arredondando para centavos:
J_{\text{líquido}} \approx \mathrm{R}\$\,3.828{,}27.í
O valor líquido total recebido (montante líquido) é o capital mais o juro líquido:
L = P + J_{\text{líquido}} \approx 12000 + 3828{,}265949133912 = \mathrm{R}\$\,15828{,}265949133912.í
Arredondando para centavos:
L \approx \mathrm{R}\$\,15.828{,}27.

Passo 7

Resumo numérico (com arredondamento final para centavos):
  • Montante bruto: \mathrm{R}\$\,16.138{,}67.
  • Juro bruto: \mathrm{R}\$\,4.138{,}67.
  • Impostos (7,5% sobre o juro): \mathrm{R}\$\,310{,}40.
  • Juro líquido: \mathrm{R}\$\,3.828{,}27.
  • Montante líquido final: \mathrm{R}\$\,15.828{,}27.

Resposta

\mathrm{R}\$\,15.828{,}27

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