QUESTÃO No. 3 (25 pontos)

Resolva a seguinte equação diferencial pelo método que estimar mais conveniente:
\left(y-x^{3}\right) d x+\left(x+y^{3}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(y - x^{3}\bigr)\,dx + \bigl(x + y^{3}\bigr)\,dy = 0.
Este tipo de equação sugere verificar se ela é exata, pois temos uma forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y - x^{3}, \quad N(x,y) = x + y^{3}.
Para ser exata, devemos ter
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculando,
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como as duas derivadas coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y) = \int (y - x^{3})\,dx = xy - \frac{x^{4}}{4} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y).
Pela expressão de \Phi,
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x + h'(y)
e devemos igualar a N(x,y)=x + y^{3}. Logo
x + h'(y) = x + y^{3} \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = y^{3}.
Integrando em y,
h(y) = \frac{y^{4}}{4}.

Passo 5

Logo a função potencial completa é
\Phi(x,y) = xy - \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{4}}{4}.
A solução geral da equação diferencial exata vem de
\Phi(x,y) = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

xy - \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{4}}{4} = C.

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