QUESTÃO No. 4 (25 pontos)
Ao cair verticalmente, devido ao próprio peso, com o paraquedas aberto, um paraquedista encontra uma resistência do ar proporcional à velocidade dele (a constante de proporcionalidade vale
). A massa do paraquedista é
.
Se
representa a posição do paraquedista, medida positivamente para baixo, determine
sabendo que em
e que o paraquedista está em repouso nesse instante.
Se
Passo 1
O enunciado descreve a queda vertical de um paraquedista de massa
sob o peso
e uma força de arrasto proporcional à velocidade, com constante
. Medimos a posição
para baixo, com
e
. O que precisamos é formular a equação de Newton, resolver a ODE para a velocidade e então integrar para obter
.
Passo 2
Defina a velocidade
. A segunda lei de Newton dá
Reescrevendo,
Esta é uma equação linear de primeira ordem com fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
e integrando, chega-se a
usando
.
Passo 3
Para obter
, integramos
de
a
:
Calculando a integral,
logo
Verifique que
.