QUESTÃO No. 4 (25 pontos)

Ao cair verticalmente, devido ao próprio peso, com o paraquedas aberto, um paraquedista encontra uma resistência do ar proporcional à velocidade dele (a constante de proporcionalidade vale c ). A massa do paraquedista é m.
Se y(t) representa a posição do paraquedista, medida positivamente para baixo, determine y(t) sabendo que em t=0, y=0 e que o paraquedista está em repouso nesse instante.

Passo 1

O enunciado descreve a queda vertical de um paraquedista de massa m sob o peso mg e uma força de arrasto proporcional à velocidade, com constante c. Medimos a posição y(t) para baixo, com y(0)=0 e y'(0)=0. O que precisamos é formular a equação de Newton, resolver a ODE para a velocidade e então integrar para obter y(t).

Passo 2

Defina a velocidade v(t)=y'(t). A segunda lei de Newton dá
m\,\frac{dv}{dt}=mg - c\,v.
Reescrevendo,
\frac{dv}{dt} + \frac{c}{m}\,v = g.
Esta é uma equação linear de primeira ordem com fator integrante
\mu(t)=e^{\frac{c}{m}t}. Multiplicando ambos os lados por \mu(t) e integrando, chega-se a
v(t)=\frac{mg}{c}\Bigl(1 - e^{-\frac{c}{m}t}\Bigr),
usando v(0)=0.

Passo 3

Para obter y(t), integramos v(t) de 0 a t:
y(t)=\int_{0}^{t}v(s)\,ds =\frac{mg}{c}\int_{0}^{t}\Bigl(1 - e^{-\frac{c}{m}s}\Bigr)ds.
Calculando a integral,
\int_{0}^{t}1\,ds = t, \quad \int_{0}^{t}e^{-\frac{c}{m}s}ds =\frac{m}{c}\Bigl(1 - e^{-\frac{c}{m}t}\Bigr),
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y(t) =\frac{mg}{c}\Bigl[t - \frac{m}{c}\bigl(1 - e^{-\frac{c}{m}t}\bigr)\Bigr] =\frac{mg}{c}\,t \;+\;\frac{m^{2}g}{c^{2}}\Bigl(e^{-\frac{c}{m}t}-1\Bigr).
Verifique que y(0)=0.

Resposta

y(t)=\frac{mg}{c}\,t \;+\;\frac{m^{2}g}{c^{2}}\Bigl(e^{-\frac{c}{m}t}-1\Bigr).

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