Questão 27. Sejam \vec{E} o campo elétrico, \vec{B} o campo magnético, \vec{J} o vetor densidade de corrente elétrica e I a corrente elétrica. As equações de Maxwell, apresentadas na forma integral, são
\begin{aligned} \iint_{S} \vec{E} \bullet d \vec{S} & =\frac{q}{\epsilon_{0}} \\\ \iint_{S} \vec{B} \bullet d \vec{S} & =0 \\\ \oint_{C} \vec{E} \bullet d \vec{r} & =-\frac{\partial \Phi}{\partial t}(\vec{B}, S) \\\ \oint_{C} \vec{B} \bullet d \vec{r} & =\mu_{0} I+\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \Phi}{\partial t}(\vec{E}, S) \end{aligned}
em que \mu_{0} e \epsilon_{0} são constantes físicas. Sabendo que q=\iiint_{E} \rho d V, \Phi(\vec{B}, S)=\iint_{S} \vec{B} \bullet d \vec{S}, I=\iint_{S} \vec{J} \bullet d \vec{S} e
\Phi(\vec{E}, S)=\iint_{S} \vec{E} \bullet d \vec{S}, obtenha a forma diferencial das equações de Maxwell, ou seja
\begin{aligned} \nabla \bullet \vec{E} & =\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \\\ \nabla \bullet \vec{B} & =0 \\\ \nabla \times \vec{E} & =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\\ \nabla \times \vec{B} & =\mu_{0} \vec{J}+\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}
através dos Teoremas de Stokes e de Gauss.

Passo 1

O enunciado dá as equações de Maxwell na forma integral e pede para obter a forma diferencial usando os Teoremas de Gauss e de Stokes. As informações relevantes que o enunciado fornece são:
\begin{aligned} \iint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S} &= \frac{q}{\epsilon_{0}}\\[6pt] \iint_{S} \vec{B}\cdot d\vec{S} &= 0\\[6pt] \oint_{C} \vec{E}\cdot d\vec{r} &= -\frac{\partial \Phi(\vec{B},S)}{\partial t}\\[6pt] \oint_{C} \vec{B}\cdot d\vec{r} &= \mu_{0} I + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \Phi(\vec{E},S)}{\partial t} \end{aligned}
e as definições auxiliares:
\begin{aligned} q &= \iiint_{E} \rho\, dV\\[6pt] \Phi(\vec{B},S) &= \iint_{S} \vec{B}\cdot d\vec{S}\\[6pt] I &= \iint_{S} \vec{J}\cdot d\vec{S}\\[6pt] \Phi(\vec{E},S) &= \iint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S} \end{aligned}
O objetivo final é obter as equações diferenciais:
\begin{aligned} \nabla\cdot\vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\\[6pt] \nabla\cdot\vec{B} &= 0\\[6pt] \nabla\times\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\[6pt] \nabla\times\vec{B} &= \mu_{0}\vec{J} + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}
Nada mais será assumido neste passo; a resolução começa no próximo.]

Passo 2

Vamos usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Enunciado do teorema: para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave definido num volume V com fronteira fechada \partial V,
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{F})\, dV = \iint_{\partial V} \vec{F}\cdot d\vec{S}.
Intuição curta: o lado direito é o fluxo total saindo da superfície fechada e o lado esquerdo soma a contribuição local (divergência) em todo o volume. Usaremos a consequência lógica: se para todo volume V temos \iiint_V (\nabla\cdot\vec{F})\,dV=\iiint_V g\,dV, então, por arbitrariedade de V, os integrandos coincidem ponto a ponto: \nabla\cdot\vec{F}=g.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Gauss à primeira equação integral. Temos
\iint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q}{\epsilon_{0}}.
Substituindo q=\iiint_{E}\rho\,dV e considerando S=\partial V a superfície fechada que limita um volume V, obtemos
\iint_{\partial V} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{1}{\epsilon_{0}} \iiint_{V} \rho\, dV.
Pelo Teorema da Divergência o lado esquerdo é
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{E})\, dV = \frac{1}{\epsilon_{0}} \iiint_{V} \rho\, dV.
Como isso vale para qualquer volume V, os integrandos são iguais ponto a ponto. Portanto
\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
Explicação didática: a divergência \nabla\cdot\vec{E} mede, em cada ponto, a “densidade de fluxo” saindo daquele ponto; igualando-a a \rho/\epsilon_{0} diz que cargas locais geram fluxo elétrico proporcional à densidade de carga.

Passo 4

Aplicamos o mesmo Teorema de Gauss à segunda equação integral. A equação dada é
\iint_{S} \vec{B}\cdot d\vec{S} = 0.
Tomando S=\partial V e usando o teorema da divergência,
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{B})\, dV = 0.
Como isto vale para qualquer volume V, o integrando deve ser zero em todo ponto, logo
\nabla\cdot\vec{B} = 0.
Interpretação: não existem “cargas magnéticas” (monopólos) — a divergência do campo magnético é nula em cada ponto.

Passo 5

Agora usamos o Teorema de Stokes. Enunciado do teorema: para um campo vetorial \vec{F} definido numa superfície orientada S com curva fronteira C=\partial S,
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S} = \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Intuição curta: a circulação de \vec{F} ao longo do contorno C é a soma local das rotações (curl) sobre a superfície.

Passo 6

Aplicamos Stokes à terceira equação. Começamos com
\oint_{C} \vec{E}\cdot d\vec{r} = -\frac{\partial \Phi(\vec{B},S)}{\partial t},
onde \Phi(\vec{B},S)=\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}. Pelo Teorema de Stokes o lado esquerdo é
\iint_{S} (\nabla\times\vec{E})\cdot d\vec{S}.
No lado direito diferenciamos a integral em relação ao tempo (assumindo campos suficientemente suaves, o que é padrão em eletrodinâmica), obtendo
-\frac{\partial}{\partial t}\iint_{S} \vec{B}\cdot d\vec{S} = -\iint_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}.
Portanto
\iint_{S} \left(\nabla\times\vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)\cdot d\vec{S} = 0.
Como isto vale para qualquer superfície S com a curva C fixada localmente (ou, interpretando de modo padrão, para qualquer superfície arbitrária), o integrando deve ser nulo ponto a ponto na superfície, o que leva à forma diferencial
\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.
Explicação didática: o rotacional de \vec{E} em cada ponto é a taxa de variação negativa do campo magnético naquele ponto — essa é a lei da indução de Faraday em forma local.

Passo 7

Aplicamos Stokes à quarta equação. Começamos com
\oint_{C} \vec{B}\cdot d\vec{r} = \mu_{0} I + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \Phi(\vec{E},S)}{\partial t},
onde I=\iint_{S}\vec{J}\cdot d\vec{S} e \Phi(\vec{E},S)=\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}. Pelo Teorema de Stokes o lado esquerdo é
\iint_{S} (\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{S}.
Substituindo I e diferenciando a passagem temporal, o lado direito fica
\mu_{0}\iint_{S} \vec{J}\cdot d\vec{S} + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial}{\partial t}\iint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \iint_{S} \left(\mu_{0}\vec{J} + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)\cdot d\vec{S}.
Igualando os dois lados:
\iint_{S} \left(\nabla\times\vec{B} - \mu_{0}\vec{J} - \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)\cdot d\vec{S} = 0.
Como isto vale para qualquer superfície S, o integrando deve ser nulo ponto a ponto, resultando em
\nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\vec{J} + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.
Comentário didático: esta é a versão local da lei de Ampère com a correção de Maxwell (a corrente de deslocamento \epsilon_{0}\partial\vec{E}/\partial t).

Resposta

\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\nabla\cdot\vec{B} = 0\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\vec{J} + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

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