Questão 27. Sejam
o campo elétrico,
o campo magnético,
o vetor densidade de corrente elétrica e I a corrente elétrica. As equações de Maxwell, apresentadas na forma integral, são
em que
e
são constantes físicas. Sabendo que
e
, obtenha a forma diferencial das equações de Maxwell, ou seja
através dos Teoremas de Stokes e de Gauss.
Passo 1
O enunciado dá as equações de Maxwell na forma integral e pede para obter a forma diferencial usando os Teoremas de Gauss e de Stokes. As informações relevantes que o enunciado fornece são:
e as definições auxiliares:
O objetivo final é obter as equações diferenciais:
Nada mais será assumido neste passo; a resolução começa no próximo.]
Passo 2
Vamos usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Enunciado do teorema: para um campo vetorial
suficientemente suave definido num volume
com fronteira fechada
,
Intuição curta: o lado direito é o fluxo total saindo da superfície fechada e o lado esquerdo soma a contribuição local (divergência) em todo o volume. Usaremos a consequência lógica: se para todo volume
temos
, então, por arbitrariedade de
, os integrandos coincidem ponto a ponto:
.
Passo 3
Aplicamos o Teorema de Gauss à primeira equação integral. Temos
Substituindo
e considerando
a superfície fechada que limita um volume
, obtemos
Pelo Teorema da Divergência o lado esquerdo é
Como isso vale para qualquer volume
, os integrandos são iguais ponto a ponto. Portanto
Explicação didática: a divergência
mede, em cada ponto, a “densidade de fluxo” saindo daquele ponto; igualando-a a
diz que cargas locais geram fluxo elétrico proporcional à densidade de carga.
Passo 4
Aplicamos o mesmo Teorema de Gauss à segunda equação integral. A equação dada é
Tomando
e usando o teorema da divergência,
Como isto vale para qualquer volume
, o integrando deve ser zero em todo ponto, logo
Interpretação: não existem “cargas magnéticas” (monopólos) — a divergência do campo magnético é nula em cada ponto.
Passo 5
Agora usamos o Teorema de Stokes. Enunciado do teorema: para um campo vetorial
definido numa superfície orientada
com curva fronteira
,
Intuição curta: a circulação de
ao longo do contorno
é a soma local das rotações (curl) sobre a superfície.
Passo 6
Aplicamos Stokes à terceira equação. Começamos com
onde
. Pelo Teorema de Stokes o lado esquerdo é
No lado direito diferenciamos a integral em relação ao tempo (assumindo campos suficientemente suaves, o que é padrão em eletrodinâmica), obtendo
Portanto
Como isto vale para qualquer superfície
com a curva
fixada localmente (ou, interpretando de modo padrão, para qualquer superfície arbitrária), o integrando deve ser nulo ponto a ponto na superfície, o que leva à forma diferencial
Explicação didática: o rotacional de
em cada ponto é a taxa de variação negativa do campo magnético naquele ponto — essa é a lei da indução de Faraday em forma local.
Passo 7
Aplicamos Stokes à quarta equação. Começamos com
onde
e
. Pelo Teorema de Stokes o lado esquerdo é
Substituindo
e diferenciando a passagem temporal, o lado direito fica
Igualando os dois lados:
Como isto vale para qualquer superfície
, o integrando deve ser nulo ponto a ponto, resultando em
Comentário didático: esta é a versão local da lei de Ampère com a correção de Maxwell (a corrente de deslocamento
).
Resposta
\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\nabla\cdot\vec{B} = 0\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\vec{J} + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}