Questão 26. Suponha que a Terra seja uma esfera perfeita de raio
centrada na origem de
e que a distância da superfície da Terra ao Sol seja
. Se a temperatura
num ponto
da Terra é diretamente proporcional ao quadrado da distância da Terra ao Sol, calcule a taxa de transmissão de calor
, Terra ), do campo
, através da superfície da Terra.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- A Terra é uma esfera perfeita de raio
centrada na origem de . - A distância da superfície da Terra ao Sol é
. - A temperatura
num ponto da Terra é diretamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao Sol. Ou seja, existe uma constante de proporcionalidade tal que - O campo de calor é
, com constante. - Pede-se calcular a taxa de transmissão de calor (fluxo)
através da superfície da Terra (isto é, o fluxo de através da superfície esférica de raio ).
Observação: não nos foi dada a posição numérica do Sol, apenas que a distância da superfície ao Sol é
. Vamos escrever a posição do Sol como um vetor fixo
(isso é suficiente); a constante
captura a proporcionalidade. Se você preferir, no final podemos reescrever
usando o valor da temperatura na superfície, já que para qualquer ponto da superfície a distância ao Sol vale
.
Passo 2
Escolha do método: usamos o Teorema da Divergência (ou Gauss). Vou explicar o que é e por que é útil aqui.
- O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial suficientemente suave
definido num volume com fronteira orientada para fora , o fluxo total de através de é igual à integral tripla da divergência de sobre :
- Aqui queremos o fluxo através da superfície da esfera de raio
. Tomamos como a bola sólida de raio . Assim basta calcular e integrar sobre o volume da bola. Esse método evita integrar diretamente sobre a superfície — normalmente muito mais trabalhoso.
Passo 3
Expressar
e calcular
.
- Seja
o vetor posição do Sol. Para qualquer ponto em a distância ao Sol é . Como é proporcional ao quadrado dessa distância, escrevemos
onde
é a constante de proporcionalidade (positiva se maior distância implica maior temperatura, etc.).
- Agora calculamos o gradiente. Primeiro note que
. A derivada vetorial disso é conhecida: . Portanto
- Logo o campo dado é
Passo 4
Calcular a divergência de
. Vou explicar a propriedade usada: a divergência é linear e
no espaço tridimensional, porque
. Uma constante (vetor fixo) tem divergência zero.
- Aplicando isso a
obtemos
- Alternativamente, usando
e dá o mesmo resultado: .
Observação didática curta: a Laplaciana de uma função quadrática coordenada é constante; no caso de
cada coordenada dá 2 ao segundo derivar, somando 6.
Passo 5
Aplicar o Teorema da Divergência e integrar sobre o volume da Terra.
- Pelo Teorema da Divergência,
- Como
é constante no volume (a bola de raio ), a integral tripla é simplesmente essa constante vezes o volume da bola. O volume de uma bola de raio é
- Portanto
- Multiplicando
por obtém-se , logo
Interpretação física curta: o sinal negativo significa que, com a convenção da normal saindo da Terra, o fluxo total é dirigido para dentro (isto é, há fluxo líquido de calor entrando na esfera) se
e
.
Passo 6
Opcional — reescrever em termos da temperatura na superfície (se preferir eliminar
).
- Para qualquer ponto da superfície a distância ao Sol vale
(dado do enunciado). Assim a temperatura na superfície vale
- Daí
. Substituindo na expressão do fluxo obtemos
Essa forma é útil se lhe derem (ou você souber) o valor da temperatura na superfície; caso contrário a forma com
é suficiente.