Questão 26. Suponha que a Terra seja uma esfera perfeita de raio R_{0} centrada na origem de \mathbb{R}^{3} e que a distância da superfície da Terra ao Sol seja R. Se a temperatura U num ponto (x, y, z) da Terra é diretamente proporcional ao quadrado da distância da Terra ao Sol, calcule a taxa de transmissão de calor \Phi(\vec{F}, Terra ), do campo \vec{F}=-k \nabla U, através da superfície da Terra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • A Terra é uma esfera perfeita de raio \;R_{0}\; centrada na origem de \mathbb{R}^{3}.
  • A distância da superfície da Terra ao Sol é \;R\;.
  • A temperatura \;U\; num ponto (x,y,z) da Terra é diretamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao Sol. Ou seja, existe uma constante de proporcionalidade \;\alpha\; tal que \;U=\alpha\cdot (\text{distância ao Sol})^{2}.â
  • O campo de calor é \;\vec{F}=-k\nabla U\;, com k>0 constante.
  • Pede-se calcular a taxa de transmissão de calor (fluxo) \;\Phi(\vec{F},\text{Terra})\; através da superfície da Terra (isto é, o fluxo de \vec{F} através da superfície esférica de raio \;R_{0}).
Observação: não nos foi dada a posição numérica do Sol, apenas que a distância da superfície ao Sol é \;R. Vamos escrever a posição do Sol como um vetor fixo \;S\in\mathbb{R}^{3} (isso é suficiente); a constante \alpha captura a proporcionalidade. Se você preferir, no final podemos reescrever \alpha usando o valor da temperatura na superfície, já que para qualquer ponto da superfície a distância ao Sol vale \;R\;.

Passo 2

Escolha do método: usamos o Teorema da Divergência (ou Gauss). Vou explicar o que é e por que é útil aqui.
  • O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial suficientemente suave \vec{F} definido num volume V com fronteira orientada para fora \partial V, o fluxo total de \vec{F} através de \partial V é igual à integral tripla da divergência de \vec{F} sobre V:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
  • Aqui queremos o fluxo através da superfície da esfera de raio \;R_{0}. Tomamos V como a bola sólida de raio \;R_{0}. Assim basta calcular \operatorname{div}\vec{F} e integrar sobre o volume da bola. Esse método evita integrar diretamente sobre a superfície — normalmente muito mais trabalhoso.

Passo 3

Expressar \;U\; e calcular \nabla U.
  • Seja \;S\in\mathbb{R}^3 o vetor posição do Sol. Para qualquer ponto x=(x,y,z) em \mathbb{R}^3 a distância ao Sol é \;|x-S|\;. Como U é proporcional ao quadrado dessa distância, escrevemos
U(x)=\alpha\,|x-S|^{2},
onde \alpha é a constante de proporcionalidade (positiva se maior distância implica maior temperatura, etc.).
  • Agora calculamos o gradiente. Primeiro note que |x-S|^{2}=(x-S)\cdot(x-S). A derivada vetorial disso é conhecida: \nabla(|x-S|^{2})=2(x-S). Portanto
\nabla U=\alpha\cdot 2(x-S)=2\alpha\,(x-S).
  • Logo o campo dado é
\vec{F}=-k\nabla U=-2k\alpha\,(x-S).

Passo 4

Calcular a divergência de \vec{F}. Vou explicar a propriedade usada: a divergência é linear e \operatorname{div}(x)=3 no espaço tridimensional, porque \operatorname{div}(x_1,x_2,x_3)=\partial_{x_1}x_1+\partial_{x_2}x_2+\partial_{x_3}x_3=1+1+1. Uma constante (vetor fixo) tem divergência zero.
  • Aplicando isso a \vec{F}=-2k\alpha\,(x-S) obtemos
\operatorname{div}\vec{F}=-2k\alpha\;\operatorname{div}(x-S)=-2k\alpha\;\operatorname{div}(x)=-2k\alpha\cdot 3=-6k\alpha.
  • Alternativamente, usando \operatorname{div}(-k\nabla U)=-k\,\Delta U e \Delta(|x-S|^{2})=6 dá o mesmo resultado: \operatorname{div}\vec{F}=-k\Delta U=-k\cdot(6\alpha)=-6k\alpha.
Observação didática curta: a Laplaciana de uma função quadrática coordenada é constante; no caso de |x-S|^{2} cada coordenada dá 2 ao segundo derivar, somando 6.

Passo 5

Aplicar o Teorema da Divergência e integrar sobre o volume da Terra.
  • Pelo Teorema da Divergência,
\Phi(\vec{F},\text{Terra})=\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
  • Como \operatorname{div}\vec{F}=-6k\alpha é constante no volume V (a bola de raio \;R_{0}), a integral tripla é simplesmente essa constante vezes o volume da bola. O volume de uma bola de raio \;R_{0} é
\operatorname{Vol}(V)=\frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}.
  • Portanto
\Phi(\vec{F},\text{Terra})=(-6k\alpha)\cdot\frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}.
  • Multiplicando -6 por \tfrac{4}{3} obtém-se -8, logo
\Phi(\vec{F},\text{Terra})=-8\pi k\alpha R_{0}^{3}.
Interpretação física curta: o sinal negativo significa que, com a convenção da normal saindo da Terra, o fluxo total é dirigido para dentro (isto é, há fluxo líquido de calor entrando na esfera) se \alpha>0 e k>0.

Passo 6

Opcional — reescrever em termos da temperatura na superfície (se preferir eliminar \alpha).
  • Para qualquer ponto da superfície a distância ao Sol vale \;R\; (dado do enunciado). Assim a temperatura na superfície vale
U_{\text{superfície}}=\alpha R^{2}.í
  • Daí \alpha=\dfrac{U_{\text{superfície}}}{R^{2}}í. Substituindo na expressão do fluxo obtemos
\Phi(\vec{F},\text{Terra})=-8\pi k \,\frac{U_{\text{superfície}}}{R^{2}}\,R_{0}^{3}=-8\pi k\,U_{\text{superfície}}\,\frac{R_{0}^{3}}{R^{2}}.íí
Essa forma é útil se lhe derem (ou você souber) o valor da temperatura na superfície; caso contrário a forma com \alpha é suficiente.

Resposta

\displaystyle \Phi(\vec{F},\text{Terra})=-8\pi k\alpha R_{0}^{3}.
\displaystyle \Phi(\vec{F},\text{Terra})=-8\pi k\,U_{\text{superfície}}\,\frac{R_{0}^{3}}{R^{2}}í

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