Questão 26: Uma aeronave voa a número de Mach M a=2,0 a uma altitude de 15 km . O ar de entrada é desacelerado até M a=0,4 na entrada do compressor da turbina. Um choque normal ocorre no difusor de entrada, antes do compressor, numa seção onde M a=1,2. Suponha escoamento isentrópico exceto através do choque e atmosfera padrão (ver dados Tabela A-11). Determine:
A pressão de estagnação p_{0} do ar na entrada do compressor.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • Mach da aeronave em voo: \displaystyle Ma_\infty = 2{,}0.
    • Altitude: \displaystyle z = 15\\ \text{km}.
    • Antes do choque, numa seção do difusor: \displaystyle Ma_{1}=1{,}2 (este é o Mach imediatamente antes do choque normal).
    • Na entrada do compressor (após o choque e posterior desaceleração isentrópica): \displaystyle Ma_{\text{comp}}=0{,}4.
    • O escoamento é isentrópico exceto através do choque normal.
    • Deve-se usar a atmosfera padrão (Tabela A-11) para obter pressão e temperatura a \displaystyle 15\\ \text{km}. Como a tabela não foi enviada, vou usar as fórmulas da Atmosfera Padrão Internacional (ISA) para obter \displaystyle p e \displaystyle T a \displaystyle 15\\ \text{km} — isso é equivalente aos dados da Tabela A-11.
  • O que se pede:
    • Determinar a pressão de estagnação \displaystyle p_{0} do ar na entrada do compressor.
Observação: pela descrição do problema, há uma desaceleração isentrópica de \displaystyle Ma_\infty=2{,}0 até \displaystyle Ma_{1}=1{,}2 (antes do choque) — isso NÃO altera a pressão de estagnação. O choque normal, então, reduz a pressão de estagnação. Após o choque há nova desaceleração isentrópica até \displaystyle Ma_{\text{comp}}=0{,}4 (também sem variação de pressão de estagnação). Portanto, a pressão de estagnação na entrada do compressor é a pressão de estagnação imediatamente após o choque.

Passo 2

Calcular a pressão estática \displaystyle p e temperatura \displaystyle T do ar a \displaystyle 15\\ \text{km} usando ISA (valores e fórmulas; explico cada termo).
  • Constantes ISA usadas:
    • \displaystyle T_{0}=288{,}15\\ \text{K} (temperatura ao nível do mar).
    • \displaystyle p_{0}=101325\\ \text{Pa} (pressão ao nível do mar).
    • \displaystyle g=9{,}80665\\ \text{m/s}^2.
    • \displaystyle R=287{,}058\\ \text{J/(kg·K)}.
    • taxa de variação térmica na troposfera \displaystyle L=-0{,}0065\\ \text{K/m}.
    • a 11 km termina a camada com gradiente; para 11\\ \text{km}<z<20\\ \text{km} a temperatura é constante \displaystyle T_{11}=216{,}65\\ \text{K}.
  • Primeiro obtenho pressão à \displaystyle 11\\ \text{km} (camada com gradiente):
    \displaystyle T_{11}=T_{0}+L\cdot 11000 = 216{,}65\\ \text{K}.
\displaystyle p_{11}=p_{0}\left(\frac{T_{11}}{T_{0}}\right)^{\frac{g}{R L}}.
Explicação: esta fórmula vem da integração da equação hidrostática com perfil linear de temperatura; o expoente é \displaystyle g/(R L). Substituindo números obtém-se
\displaystyle p_{11}\approx 22632\\ \text{Pa}.
  • Agora, para \displaystyle z=15\\ \text{km} (regime isotérmico entre 11 e 20 km): \displaystyle T_{15}=T_{11}=216{,}65\\ \text{K},
\displaystyle p_{15}=p_{11}\exp\!\left(-\frac{g\,(15000-11000)}{R\,T_{11}}\right).
Esta expressão vem da lei dos gases combinada com a hidrostática para camada isotérmica. Calculando:
\displaystyle p_{15}\approx 22632\exp\!\left(-\frac{9{,}80665\cdot 4000}{287{,}058\cdot 216{,}65}\right) \approx 12056\\ \text{Pa}.
Portanto, peguei o valor de \displaystyle p e \displaystyle T para a altitude de \displaystyle 15\\ \text{km} usando as fórmulas ISA (equivalentes aos dados da Tabela A-11): \displaystyle p=12056\\ \text{Pa} e \displaystyle T=216{,}65\\ \text{K}.

Passo 3

Lembrar a relação isentrópica entre pressão de estagnação e pressão estática (essa fórmula é central e precisa ser bem compreendida).
  • Fórmula (escoamento isentrópico, gás perfeito): \displaystyle \frac{p_{0}}{p}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}Ma^{2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}},onde:
    • \displaystyle p_{0} é a pressão de estagnação (total pressure),
    • \displaystyle p é a pressão estática,
    • \displaystyle Ma é o número de Mach local,
    • \displaystyle \gamma é a razão de calores específicos (para o ar \displaystyle \gamma=1{,}4).
Importante: em uma desaceleração isentrópica (sem choque), \displaystyle p_{0} permanece constante — por isso a desaceleração de \displaystyle Ma_\infty=2{,}0 até \displaystyle Ma_{1}=1{,}2 NÃO altera a pressão de estagnação.

Passo 4

Calcular a pressão de estagnação freestream (antes do choque), que é a mesma em todo o escoamento isentrópico desde o ar livre até a seção imediatamente antes do choque.
  • Usando \displaystyle p=p_{15}=12056\\ \text{Pa}, \displaystyle Ma_\infty=2{,}0, \displaystyle \gamma=1{,}4: \displaystyle \frac{p_{0,\text{before}}}{p_{15}}=\left(1+\frac{1{,}4-1}{2}\,Ma_\infty^{2}\right)^{\frac{1{,}4}{1{,}4-1}} =\left(1+0{,}2\cdot 2{,}0^{2}\right)^{3{,}5}.
\displaystyle 1+0{,}2\cdot 4=1{,}8\quad\Rightarrow\quad \frac{p_{0,\text{before}}}{p_{15}}=1{,}8^{3{,}5}\approx 7{,}822.
Então
\displaystyle p_{0,\text{before}}=p_{15}\times 7{,}822 \approx 12056\times 7{,}822 \approx 9{,}43\times 10^{4}\\ \text{Pa}.
Vou manter um valor numérico arredondado com 3 algarismos significativos:
\displaystyle p_{0,\text{before}}\approx 9{,}43\times 10^{4}\\ \text{Pa}.

Passo 5

Agora tratamos o choque normal que ocorre quando \displaystyle Ma_{1}=1{,}2. Um choque normal conserva momento e energia, mas aumenta a pressão estática e reduz a pressão de estagnação. Precisamos da relação entre \displaystyle p_{2} e \displaystyle p_{1} e das grandezas pós-choque.
  • Fórmula para razão de pressão estática através do choque normal: \displaystyle \frac{p_{2}}{p_{1}}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}\left(Ma_{1}^{2}-1\right).Substituindo \displaystyle \gamma=1{,}4 e \displaystyle Ma_{1}=1{,}2: \displaystyle \frac{p_{2}}{p_{1}}=1+\frac{2\cdot 1{,}4}{1{,}4+1}\left(1{,}2^{2}-1\right) =1+\frac{2{,}8}{2{,}4}\cdot(1{,}44-1).
\displaystyle \frac{p_{2}}{p_{1}}=1+1{,}1666667\cdot 0{,}44\approx 1{,}51333.
  • Fórmula para o Mach após o choque ( \displaystyle Ma_{2}): \displaystyle Ma_{2}^{2}=\frac{1+\frac{\gamma-1}{2}Ma_{1}^{2}}{\gamma Ma_{1}^{2}-\frac{\gamma-1}{2}}.Calculando: \displaystyle \text{numerador}=1+0{,}2\cdot 1{,}44=1{,}288, \quad \text{denominador}=1{,}4\cdot 1{,}44-0{,}2=2{,}016-0{,}2=1{,}816.
\displaystyle Ma_{2}^{2}=\frac{1{,}288}{1{,}816}\approx 0{,}7092\quad\Rightarrow\quad Ma_{2}\approx 0{,}842.
Explicação curta: após o choque normal o escoamento fica sub-sônico ( \displaystyle Ma_{2}<1), como calculado.

Passo 6

Calcular a razão das pressões de estagnação através do choque. A relação geral (exata) é:
\displaystyle \frac{p_{0,2}}{p_{0,1}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\cdot \frac{\left(1+\dfrac{\gamma-1}{2}Ma_{2}^{2}\right)^{\dfrac{\gamma}{\gamma-1}}} {\left(1+\dfrac{\gamma-1}{2}Ma_{1}^{2}\right)^{\dfrac{\gamma}{\gamma-1}}}.
Explicação: a pressão de estagnação local é obtida a partir da pressão estática e do Mach via relação isentrópica; atravessando o choque usamos p_{0,2}=p_{2}\cdot f(Ma_{2}) e p_{0,1}=p_{1}\cdot f(Ma_{1}), daí a razão acima.
Substituindo os valores numéricos:
  • Já temos \displaystyle p_{2}/p_{1}\approx 1{,}51333.
  • Calcular os termos isentrópicos: \displaystyle 1+\frac{\gamma-1}{2}Ma_{1}^{2}=1+0{,}2\cdot 1{,}44=1{,}288,
\displaystyle 1+\frac{\gamma-1}{2}Ma_{2}^{2}=1+0{,}2\cdot 0{,}7092\approx 1{,}14184.
Expoente \displaystyle \dfrac{\gamma}{\gamma-1}=3{,}5.
Portanto:
\displaystyle \frac{p_{0,2}}{p_{0,1}}=1{,}51333\cdot\left(\frac{1{,}14184}{1{,}288}\right)^{3{,}5}.
Calcule passo a passo:
  • Razão interna =1{,}14184/1{,}288\approx 0{,}8866.
  • Elevando: 0{,}8866^{3{,}5}\approx 0{,}6559.
  • Multiplicando: \displaystyle \frac{p_{0,2}}{p_{0,1}}\approx 1{,}51333\times 0{,}6559\approx 0{,}9929.
Conclusão: a perda total de pressão através do choque é pequena para um choque fraco como em Ma_{1}=1{,}2; a razão é \displaystyle p_{0,2}/p_{0,1}\approx 0{,}9929 (ou seja, cerca de 0{,}71\% de perda).

Passo 7

Calcular a pressão de estagnação imediatamente após o choque e, por consequência, a pressão de estagnação na entrada do compressor (pois a desaceleração final até \displaystyle Ma_{\text{comp}}=0{,}4 é isentrópica e não altera \displaystyle p_{0}).
  • Já tínhamos \displaystyle p_{0,\text{before}}\approx 9{,}43\times 10^{4}\\ \text{Pa}.
  • Logo: \displaystyle p_{0,\text{after}}=p_{0,\text{before}}\cdot\frac{p_{0,2}}{p_{0,1}} \approx 9{,}43\times 10^{4}\times 0{,}9929.
\displaystyle p_{0,\text{after}}\approx 9{,}36\times 10^{4}\\ \text{Pa}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\displaystyle p_{0,\text{entrada\\ do\\ compressor}}\approx 9{,}36\times 10^{4}\\ \text{Pa}=93{,}6\\ \text{kPa}.

Resposta

\displaystyle p_{0,\text{entrada do compressor}}\approx 9{,}36\times 10^{4}\\ \text{Pa}

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