Questão 26: Uma aeronave voa a número de Mach M a=2,0 a uma altitude de 15 km . O ar de entrada é desacelerado até M a=0,4 na entrada do compressor da turbina. Um choque normal ocorre no difusor de entrada, antes do compressor, numa seção onde M a=1,2. Suponha escoamento isentrópico exceto através do choque e atmosfera padrão (ver dados Tabela A-11). Determine:
A temperatura de estagnação T_{0} do ar na entrada do compressor;

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de estagnação \,T_{0}\, do ar na entrada do compressor. Dados importantes fornecidos:
\text{- Mach da aeronave em altitude: }Ma_a=2{,}0
\text{- Altitude: }15\\ \text{km}
\text{- Na entrada do compressor: }Ma=0{,}4
\text{- Um choque normal ocorre numa seção onde }Ma=1{,}2çã
\text{- Escoamento é isentrópico exceto através do choque}éóé
\text{- Usar atmosfera padrão (Tabela A-11)}ã
Da Tabela A-11 (atmosfera padrão) peguei explicitamente a temperatura estática no nível de 15\\ \text{km}:
T(15\\ \text{km})=216{,}65\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceito importante: temperatura de estagnação (também chamada temperatura total) é a temperatura que o fluido teria se fosse desacelerado isentropicamente até velocidade zero. Para um gás perfeito com razão de calores \gamma constante, a relação entre temperatura de estagnação \,T_{0}\,, temperatura estática \,T\, e número de Mach \,Ma\, é:
T_{0}=T\left(1+\frac{\gamma-1}{2}\,Ma^{2}\right).
Aqui:
  • \,T_{0}\, é a temperatura de estagnação (K),
  • \,T\, é a temperatura estática local (K),
  • \gamma é a razão de calores (para ar em regime caloricamente perfeito tomamos \gamma=1{,}4),
  • \,Ma\, é o número de Mach local (adimensional).
Esta fórmula vem da conservação de energia mecânica no escoamento: T_0=T + V^2/(2c_p), e usando V=a\,Ma com a=\sqrt{\gamma R T} e c_p=\gamma R/(\gamma-1) obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Propriedade crucial para este problema: a temperatura de estagnação é conservada em processos adiabáticos sem trabalho, mesmo através de um choque normal, desde que o gás seja caloricamente perfeito (isto é, c_p constante). Em termos físicos, a entalpia total do escoamento permanece constante: o choque aumenta a entropia (e a temperatura estática muda), mas não altera a entalpia total. Portanto:
T_{0,\text{antes do choque}}=T_{0,\text{depois do choque}}=T_{0,\text{entrada do compressor}}.
Como o escoamento é isentrópico desde o exterior da aeronave até o ponto onde Ma=1{,}2 (onde ocorre o choque), podemos calcular T_{0} a partir das condições de voo iniciais ( Ma_a=2{,}0 e T(15\\ \text{km})) — isso já dá o T_0 que vale também na entrada do compressor.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com \gamma=1{,}4, T=216{,}65\\ \mathrm{K} e Ma=2{,}0.
Calcule o fator:
1+\frac{\gamma-1}{2}Ma^{2}=1+\frac{1{,}4-1}{2}\cdot(2{,}0)^{2}=1+\frac{0{,}4}{2}\cdot 4=1+0{,}2\cdot4=1+0{,}8=1{,}8.
Agora a temperatura de estagnação:
T_{0}=216{,}65\cdot 1{,}8=389{,}97\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma apropriada para três dígitos significativos, temos T_{0}\approx 390{,}0\\ \mathrm{K}.

Resposta

\;T_{0}=389{,}97\\ \mathrm{K}

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