No escoamento compressível, medições de velocidade com uma sonda de Pitot podem apresentar erros significativos se forem utilizadas relações desenvolvidas para escoamento incompressível. Por isso, é essencial utilizar as relações apropriadas para escoamento compressível ao se avaliar a velocidade do escoamento a partir de medições com sonda de Pitot.
Considere o escoamento supersônico de ar através de um canal. Uma sonda inserida no escoamento provoca a formação de uma onda de choque a montante da sonda, e mede uma pressão e uma temperatura de estagnação iguais a 620 kPa e 340 K , respectivamente. Sabendo que a pressão estática a montante da sonda é de 110 kPa , determine a velocidade do escoamento.
Considere o escoamento supersônico de ar através de um canal. Uma sonda inserida no escoamento provoca a formação de uma onda de choque a montante da sonda, e mede uma pressão e uma temperatura de estagnação iguais a 620 kPa e 340 K , respectivamente. Sabendo que a pressão estática a montante da sonda é de 110 kPa , determine a velocidade do escoamento.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade do escoamento a montante da sonda (velocidade do fluxo livre, que é supersônico) usando as medições feitas pela sonda.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Informações físicas que aparecem implicitamente e que usaremos (valores típicos para ar perfeito):
Observação importante sobre os dados da figura (peguei estes valores da figura e do texto do enunciado): a sonda provoca uma onda de choque a montante e mede a pressão e temperatura de estagnação depois do choque, ou seja, os valores medidos são
e
. A incógnita é a velocidade do escoamento livre a montante da onda (vamos chamar de
ou usar o número de Mach
).
Passo 2
Conceitos e relações principais que vamos usar (explicação didática curta antes de aplicar):
- Temperatura de estagnação (
) para um escoamento perfeito e adiabático sem trabalho é conservada ao atravessar uma onda de choque (o choque é adiabático, então ). Isso significa que a temperatura de estagnação medida após o choque é igual à temperatura de estagnação do escoamento livre antes do choque. - Relação isentrópica (antes do choque, da condição livre para estagnação) liga
com a temperatura estática e o número de Mach :
- A pressão de estagnação sofre queda ao atravessar um choque normal. Não há uma simples relação isentrópica unívoca para
em função de sem usar as fórmulas do choque normal. Vamos montar a equação combinando: (i) relação isentrópica entre e , (ii) relações do choque normal entre e e entre e , e (iii) relação isentrópica entre e . - Fórmulas que usaremos (cada variável brevemente explicada):
-
= pressão de estagnação do escoamento livre (antes do choque). -
= pressão de estagnação medida dentro da sonda (após o choque) — conhecido. - Isentrópica subida a partir de estado 1:
- Relação de pressão estática através do choque normal:
- Mach após o choque (choque normal):
- Isentrópica decelerando de
até estagnação dá:
-
Passo 3
Montagem da equação que relaciona os dados conhecidos (
e
) com
. Multiplicando as duas últimas relações:
onde
é função de
dada por
Portanto temos uma equação não-linear para
. Os dados numéricos:
e
(logo
e
).
Passo 4
Resolvendo numericamente a equação para
(vou fazer tentativa por aproximação sucessiva — método prático para prova: testar valores de
razoáveis). Tentar
:
-
. -
- Então
Elevando à :
- Também
- Produto:
Comparando com
, o resultado para
é extremamente próximo (diferença
). Portanto
. Para uma prova, aceitar
é perfeitamente razoável.
Passo 5
Agora que temos
, usamos a temperatura de estagnação (conservada pelo choque) para obter a temperatura estática a montante
. Como
e
temos com
e
:
Logo
Passo 6
Calcular a velocidade do som a montante
e então a velocidade do escoamento
:
- Velocidade do som:
Para evitar muitas contas manuais, podemos reescrever usando
:
Portanto
- Velocidade do escoamento:
Passo 7
Comentário final (motivacional curto): deu um pouco de contas, mas a ideia-chave é montar a equação que liga a pressão de estagnação medida ao estado livre usando as relações isentrópicas e as relações do choque normal; para este problema o resultado cai quase exatamente em
, o que facilita as contas. Você consegue repetir esse procedimento em prova: montar as relações, testar Machs plausíveis (1,5; 2,0; 2,5) e interpolar se necessário.