No escoamento compressível, medições de velocidade com uma sonda de Pitot podem apresentar erros significativos se forem utilizadas relações desenvolvidas para escoamento incompressível. Por isso, é essencial utilizar as relações apropriadas para escoamento compressível ao se avaliar a velocidade do escoamento a partir de medições com sonda de Pitot.
Considere o escoamento supersônico de ar através de um canal. Uma sonda inserida no escoamento provoca a formação de uma onda de choque a montante da sonda, e mede uma pressão e uma temperatura de estagnação iguais a 620 kPa e 340 K , respectivamente. Sabendo que a pressão estática a montante da sonda é de 110 kPa , determine a velocidade do escoamento.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade do escoamento a montante da sonda (velocidade do fluxo livre, que é supersônico) usando as medições feitas pela sonda.
Dados fornecidos:
P_{02}=620\\ \text{kPa},\qquad T_{02}=340\\ \text{K},\qquad P_1=110\\ \text{kPa}.
Informações físicas que aparecem implicitamente e que usaremos (valores típicos para ar perfeito):
\gamma=1{,}4,\qquad R=287\\ \text{J/(kg·K)}.
Observação importante sobre os dados da figura (peguei estes valores da figura e do texto do enunciado): a sonda provoca uma onda de choque a montante e mede a pressão e temperatura de estagnação depois do choque, ou seja, os valores medidos são P_{02} e T_{02}. A incógnita é a velocidade do escoamento livre a montante da onda (vamos chamar de u_1 ou usar o número de Mach M_1).

Passo 2

Conceitos e relações principais que vamos usar (explicação didática curta antes de aplicar):
  • Temperatura de estagnação ( T_0) para um escoamento perfeito e adiabático sem trabalho é conservada ao atravessar uma onda de choque (o choque é adiabático, então T_{02}=T_{01}). Isso significa que a temperatura de estagnação medida após o choque é igual à temperatura de estagnação do escoamento livre antes do choque.
  • Relação isentrópica (antes do choque, da condição livre para estagnação) liga T_{01} com a temperatura estática T_1 e o número de Mach M_1:
\frac{T_{01}}{T_1}=1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2.
  • A pressão de estagnação sofre queda ao atravessar um choque normal. Não há uma simples relação isentrópica unívoca para P_{02} em função de P_1 sem usar as fórmulas do choque normal. Vamos montar a equação combinando: (i) relação isentrópica entre P_{01} e P_1, (ii) relações do choque normal entre P_2 e P_1 e entre M_2 e M_1, e (iii) relação isentrópica entre P_{02} e P_2.
  • Fórmulas que usaremos (cada variável brevemente explicada):
    • \;P_{01} = pressão de estagnação do escoamento livre (antes do choque).
    • \;P_{02} = pressão de estagnação medida dentro da sonda (após o choque) — conhecido.
    • Isentrópica subida a partir de estado 1:
    \frac{P_{01}}{P_1}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2\right)^{\gamma/(\gamma-1)}.
    • Relação de pressão estática através do choque normal:
    \frac{P_2}{P_1}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}\left(M_1^2-1\right).
    • Mach após o choque (choque normal):
    M_2^2=\frac{1+\tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2-\tfrac{\gamma-1}{2}}.
    • Isentrópica decelerando de M_2 até estagnação dá:
    \frac{P_{02}}{P_2}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_2^2\right)^{\gamma/(\gamma-1)}.

Passo 3

Montagem da equação que relaciona os dados conhecidos ( P_{02} e P_1) com M_1. Multiplicando as duas últimas relações:
\frac{P_{02}}{P_1}=\frac{P_{02}}{P_2}\cdot\frac{P_2}{P_1} =\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_2^2\right)^{\gamma/(\gamma-1)} \left[\,1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}\left(M_1^2-1\right)\right],
onde M_2 é função de M_1 dada por
M_2^2=\frac{1+\tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2-\tfrac{\gamma-1}{2}}.
Portanto temos uma equação não-linear para M_1. Os dados numéricos:
\frac{P_{02}}{P_1}=\frac{620}{110}=5{,}63636\ldots
e \gamma=1{,}4 (logo \tfrac{\gamma-1}{2}=0{,}2 e \tfrac{\gamma}{\gamma-1}=3{,}5).

Passo 4

Resolvendo numericamente a equação para M_1 (vou fazer tentativa por aproximação sucessiva — método prático para prova: testar valores de M_1 razoáveis). Tentar M_1=2:
  • M_1^2=4.
  • M_2^2=\dfrac{1+0{,}2\cdot4}{1{,}4\cdot4-0{,}2}=\dfrac{1{,}8}{5{,}6-0{,}2}=\dfrac{1{,}8}{5{,}4}=0{,}33333.
  • Então 1+0{,}2M_2^2=1+0{,}2\cdot0{,}33333=1{,}0666667. Elevando à 3{,}5:
\left(1+0{,}2M_2^2\right)^{3{,}5}\approx1{,}2534.
  • Também
1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}\left(M_1^2-1\right)=1+\frac{2{,}8}{2{,}4}(4-1)=1+1{,}1666667\cdot3=4{,}5.
  • Produto:
\text{RHS}\approx1{,}2534\times4{,}5=5{,}6403.
Comparando com \dfrac{P_{02}}{P_1}=5{,}63636, o resultado para M_1=2 é extremamente próximo (diferença \approx 0{,}004). Portanto M_1\approx2. Para uma prova, aceitar M_1=2{,}00 é perfeitamente razoável.

Passo 5

Agora que temos M_1\approx2, usamos a temperatura de estagnação (conservada pelo choque) para obter a temperatura estática a montante T_1. Como T_{01}=T_{02}=340\\ \text{K} e
\frac{T_{01}}{T_1}=1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2,
temos com \gamma=1{,}4 e M_1=2:
1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2=1+0{,}2\cdot4=1{,}8.
Logo
T_1=\frac{T_{01}}{1{,}8}=\frac{340}{1{,}8}=188{,}888\ldots\\ \text{K}\approx188{,}9\\ \text{K}.

Passo 6

Calcular a velocidade do som a montante a_1 e então a velocidade do escoamento u_1:
  • Velocidade do som:
a_1=\sqrt{\gamma R T_1}=\sqrt{1{,}4\cdot287\cdot188{,}888\ldots}.
Para evitar muitas contas manuais, podemos reescrever usando T_1=340/1{,}8:
\gamma R T_1=\gamma R\frac{340}{1{,}8}=\frac{1{,}4\cdot287\cdot340}{1{,}8}=75\,895{,}555\ldots
Portanto
a_1\approx\sqrt{75\,895{,}56}\approx275{,}45\\ \text{m/s}.
  • Velocidade do escoamento:
u_1=M_1 a_1\approx2\cdot275{,}45\\ \text{m/s}\approx550{,}9\\ \text{m/s}.

Passo 7

Comentário final (motivacional curto): deu um pouco de contas, mas a ideia-chave é montar a equação que liga a pressão de estagnação medida ao estado livre usando as relações isentrópicas e as relações do choque normal; para este problema o resultado cai quase exatamente em M_1=2, o que facilita as contas. Você consegue repetir esse procedimento em prova: montar as relações, testar Machs plausíveis (1,5; 2,0; 2,5) e interpolar se necessário.

Resposta

u_1\approx551\\ \text{m/s}

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