Questão 26. Em geral, a equação do calor sem condições de fronteira:
\begin{gathered} u_{t t}=a^{2} u_{x x}, \quad-\infty<x<+\infty, \quad t>0 \\\ u(x, 0)=f(x), \quad-\infty<x<+\infty \end{gathered}
é resolvida pela única solução
u(x, t)=\frac{1}{a \sqrt{4 \pi t}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 a^{2} t}} d y

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor no espaço inteiro sem fronteiras, isto é
u_{t}=a^{2}\,u_{xx},\quad -\infty<x<+\infty,\;t>0,
com condição inicial
u(x,0)=f(x).
Vamos usar a transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma EDO em t.

Passo 2

Definimos a transformada
\hat u(k,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
Aplicando-a na equação u_{t}=a^{2}u_{xx} e usando a propriedade de derivada no espaço, obtemos
\frac{\partial}{\partial t}\hat u(k,t) =a^{2}\,\bigl(-k^{2}\bigr)\,\hat u(k,t) =-a^{2}k^{2}\,\hat u(k,t).
Em t=0 temos \hat u(k,0)=\hat f(k), a transformada de f.

Passo 3

A EDO em t
\frac{d}{dt}\hat u(k,t)=-a^{2}k^{2}\hat u(k,t),
com \hat u(k,0)=\hat f(k), tem solução
\hat u(k,t)=\hat f(k)\,e^{-a^{2}k^{2}t}.

Passo 4

Invertemos a transformada de Fourier:
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat u(k,t)\,e^{ikx}\,dk =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(k)\,e^{-a^{2}k^{2}t}\,e^{ikx}\,dk.
Como \hat f(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\,e^{-iky}\,dy, trocamos a ordem de integração e obtemos
u(x,t) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\,\Bigl[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}k^{2}t + ik(x-y)}\,dk\Bigr]dy.

Passo 5

O integrando em k é uma integral gaussiana conhecida:
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}k^{2}t + ikz}\,dk =\sqrt{\frac{\pi}{a^{2}t}}\,e^{-\frac{z^{2}}{4a^{2}t}}, \quad z=x-y.
Portanto
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}k^{2}t + ik(x-y)}\,dk =\frac{1}{\sqrt{4\pi\,a^{2}t}}\,e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4a^{2}t}}.
Substituindo em u(x,t) dá a fórmula de convolução que é a solução única.

Resposta

u(x,t) =\frac{1}{a\sqrt{4\pi\,t}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\, \exp\!\Bigl(-\frac{(x-y)^{2}}{4a^{2}t}\Bigr)\,dy.

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