Questão 26. Em geral, a equação do calor sem condições de fronteira:
é resolvida pela única solução
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação do calor no espaço inteiro sem fronteiras, isto é
com condição inicial
Vamos usar a transformada de Fourier em
para reduzir a PDE a uma EDO em
.
Passo 2
Definimos a transformada
Aplicando-a na equação
e usando a propriedade de derivada no espaço, obtemos
Em
temos
, a transformada de
.
Passo 3
A EDO em
com
, tem solução
Passo 4
Invertemos a transformada de Fourier:
Como
, trocamos a ordem de integração e obtemos
Passo 5
O integrando em
é uma integral gaussiana conhecida:
Portanto
Substituindo em
dá a fórmula de convolução que é a solução única.