Assumimos que o n’umero de clientes que chegam a cada hora em certo posto de servi, cos auto mobil’isticos segue uma distribui, cãao de Poisson
.
(a) Qual 'e o n’umero m’edio de chegadas durante o per’ıodo de duas horas? (b) Calcule a probabilidade de que mais de um cliente chegue em um per’ıodo de duas horas?
(a) Qual 'e o n’umero m’edio de chegadas durante o per’ıodo de duas horas? (b) Calcule a probabilidade de que mais de um cliente chegue em um per’ıodo de duas horas?
Passo 1
O enunciado dá que o número de clientes que chegam por hora segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
(isto é,
chegadas por hora, em média). Perguntas do exercício:
- Qual é o número médio de chegadas durante um período de duas horas?
- Qual é a probabilidade de que mais de um cliente chegue em um período de duas horas?
Informações relevantes fornecidas:
(média por 1 hora) e o intervalo de interesse tem duração
horas.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): se o número de chegadas por unidade de tempo é um processo de Poisson com taxa
por unidade de tempo, então o número de chegadas em um intervalo de duração
tem distribuição de Poisson com parâmetro
.
Isso vem da propriedade de escalamento temporal do processo de Poisson: a média cresce linearmente com o comprimento do intervalo.
Isso vem da propriedade de escalamento temporal do processo de Poisson: a média cresce linearmente com o comprimento do intervalo.
Fórmula genérica para a média no intervalo de duração
:
onde:
-
é a taxa média por unidade de tempo (aqui, por hora), -
é o comprimento do intervalo em horas, -
é a média (esperança) do número de chegadas no intervalo de duração .
Exemplo curto para fixar: se
clientes/hora e queremos 3 horas, então a média é
clientes nesse período.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
horas:
Calcule:
Portanto, o número médio de chegadas em duas horas é
.
Passo 4
Para a segunda parte, definimos a variável aleatória
= número de chegadas em 2 horas. Pelo que expliquei,
tem distribuição de Poisson com parâmetro
. A função de massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
onde:
-
é um número inteiro não negativo ( ), -
é o parâmetro (média) da Poisson — aqui .
Passo 5
Queremos
. É mais fácil usar o complementar:
Calcule
e
com
:
Somando:
Logo:
Passo 6
Aproximação numérica (para termos uma ideia do valor): primeiro
é muito pequeno; uma boa aproximação é
Multiplicando por
:
Portanto
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, com média
chegadas em duas horas, é praticamente certo (probabilidade muito próxima de
) que venham mais de um cliente nesse intervalo. Bom trabalho — mesmo parecendo óbvio depois de calcular, é bom ver o número exato!