2^{a} Questão: [26 pontos] Seja f uma função definida por f(x)=\operatorname{arctg} x. Em cada item, faça o que se pede.
(a) [08 pontos] Mostre que f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{2 n+1}, nos valores de x para os quais a série converge.
(b) [12 pontos] Determine o raio e o intervalo de convergência da série do Item (a).
(c) [06 pontos ] Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 3^{\frac{2 n+1}{2}}}{3^{2 n+1}(2 n+1)}. Use o resultado do Item (a).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\operatorname{arctg} x e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}, para os valores de x em que essa série converge.
  • (b) Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série do item (a).
  • (c) Calcular o valor da soma \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}3^{\frac{2n+1}{2}}}{3^{2n+1}(2n+1)}, usando o resultado do item (a).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \operatorname{arctg} x.
  • A série proposta tem termos de ordem x^{2n+1} com coeficiente \dfrac{(-1)^n}{2n+1}.
  • Não foi dada uma restrição explícita em x; teremos que descobrir o conjunto de x em que a série converge e verificar que a soma coincide com \operatorname{arctg} x nesses pontos.

Passo 2

Relembrando um fato-chave que vamos usar: a derivada de \operatorname{arctg} x é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg} x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Isto é fácil de verificar por derivação de funções trigonométricas inversas, mas aqui vou aceitar como resultado padrão. Esse fato é importante porque nos liga a uma função simples 1/(1+x^{2}) cuja expansão conseguimos a partir da série geométrica.

Passo 3

Vamos usar a série geométrica clássica. Para qualquer número real u tal que |u|<1 vale
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}.
Substituímos u=-x^{2} (note que |u|=|x|^{2}<1 \iff |x|<1) para obter, quando |x|<1,
\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}.
Isso dá, simplificando o sinal e as potências,
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n},\qquad \text{para }|x|<1.

Passo 4

Agora integramos a série obtida termo a termo para recuperar \operatorname{arctg} x. Explico por que isto é permitido: a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-r,r] com r<1; por isso pode-se integrar termo a termo nesses intervalos e depois passar ao limite. Integrando a igualdade do Passo 3 de 0 a x (com x tal que |x|<1) obtemos
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}\,dt
e, integrando termo a termo,
\operatorname{arctg} x - \operatorname{arctg} 0 = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.
Como \operatorname{arctg} 0=0 e \displaystyle \int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, segue que, para |x|<1,
\operatorname{arctg} x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}.
Portanto a identidade procurada está demonstrada no intervalo de convergência interior |x|<1.

Passo 5

Precisamos agora estudar a convergência da série e verificar o que ocorre nos extremos x=\pm 1. Primeiro determinamos o raio de convergência (item (b)), pois isso diz até onde podemos confiar na expansão.
Para a série de potências \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} o raio de convergência R pode ser encontrado por
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_{n}|}.
No nosso caso escrevemos a série como soma sobre potências de x, mas só aparecem potências ímpares. Se definirmos os coeficientes a_{2n+1}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1} e a_{2n}=0, então
\sqrt[2n+1]{|a_{2n+1}|}=\sqrt[2n+1]{\frac{1}{2n+1}}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Como os coeficientes não anulam a raiz limite para subsequências pares/ímpares, temos \limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|a_{m}|}=1. Logo
R=1.
Esse cálculo mostra que a série tem raio de convergência 1: ela converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1.

Passo 6

Falta analisar os pontos da fronteira |x|=1, isto é x=1 e x=-1.
  • Para x=1 a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1},
que é a série alternada com termos monotonicamente decrescentes em módulo para zero. Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo e tendendo a zero) essa série converge. Na verdade sua soma é bem conhecida: \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}=\dfrac{\pi}{4}, que coincide com \operatorname{arctg}1.
  • Para x=-1 temos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-1)^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-1)}{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1},
que também é uma série alternada converge pelo mesmo critério, e sua soma é \operatorname{arctg}(-1)=-\dfrac{\pi}{4}.
Portanto nos dois extremos a série converge (condicionalmente, não absolutamente, pois \sum1/(2n+1) diverge).

Passo 7

Concluímos então para o item (a) e (b):
  • Para |x|<1 derivámos a igualdade diretamente integrando a série geométrica; para x=\pm 1 a série também converge e soma os valores \pm \dfrac{\pi}{4}, que coincidem com \operatorname{arctg}(\pm 1). Assim a igualdade
\operatorname{arctg} x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}
vale para todos os x em que a série converge, isto é para -1\le x\le 1. O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é [-1,1].

Passo 8

Agora resolvemos o item (c). Observemos a soma dada:
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}3^{\frac{2n+1}{2}}}{3^{2n+1}(2n+1)}.
Simplificamos a potência de 3. Note que
\frac{3^{\frac{2n+1}{2}}}{3^{2n+1}}=3^{\frac{2n+1}{2}-(2n+1)}=3^{-(2n+1)\left(\frac{1}{2}\right)}=3^{-\frac{2n+1}{2}}=\frac{1}{3^{\frac{2n+1}{2}}}.
Logo cada termo pode ser escrito como
\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)\,3^{\frac{2n+1}{2}}}=\frac{(-1)^{n}}{2n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n+1}.
Assim
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n+1}.
Mas esta é exatamente a série de potências da \operatorname{arctg} avaliada em x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, já que pelo item (a)
\operatorname{arctg} x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}
para |x|\le 1. Como \left|\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|<1, podemos substituir diretamente x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e obter
S=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Sabemos que \operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6} (esse é um valor trigonométrico padrão: tangente de \pi/6 é 1/\sqrt{3}). Portanto
S=\frac{\pi}{6}.

Resposta

(a) \displaystyle \operatorname{arctg} x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}, para -1\le x\le 1.\n
(b) R=1. Intervalo de convergência: [-1,1].\n
(c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}3^{\frac{2n+1}{2}}}{3^{2n+1}(2n+1)}=\frac{\pi}{6}.

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