Considere os subespaços de \mathbb{R}^{4} : W_{1}=\left\{\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4} / x+y=z e y+w=0\right\} \quad \mathrm{e} W_{2}=\left\{\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4} / x=\right. we \left.y=z\right\}
a) Determine os espaços W=W_{1}+W_{2} e W_{1} \cap W_{2} dando as respectivas bases e dimensões.
b) W=W_{1} \bigoplus W_{2} ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^4 e pede:
Determinar W=W_{1}+W_{2} e W_{1}\cap W_{2}, dando bases e dimensões de cada um.
Dizer se W=W_{1}\oplus W_{2} e justificar.
As informações fornecidas são (peguei-as do enunciado):
W_{1}=\left\{\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4 \;\middle|\; x+y=z \text{ e } y+w=0\right\}
W_{2}=\left\{\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4 \;\middle|\; x=w \text{ e } y=z\right\}
O que precisamos encontrar: bases e dimensões de W_{1},W_{2},W_{1}\cap W_{2} e de W=W_{1}+W_{2}, e então responder se a soma é direta.
Passo 2
Vamos parametrizar W_{1}. As equações que definem W_{1} são
x+y=z,\qquad y+w=0.
Escolhemos parâmetros livres x e y. A partir das equações obtemos
\begin{cases} a + c = 0 & (\text{1ª componente})\\[4pt] b + d = 0 & (\text{2ª componente})\\[4pt] a + b + d = 0 & (\text{3ª componente})\\[4pt] -\,b + c = 0 & (\text{4ª componente}) \end{cases}ªªªª
Da primeira equação c=-a. Da quarta c=b, logo b=-a. Da segunda d=-b=a. Substituindo em terceira: a + b + d = a + (-a) + a = a = 0. Assim a=0, e segue b=c=d=0. Logo são LI. Portanto os quatro vetores formam uma base de um subespaço de dimensão 4. Como \dim\mathbb{R}^4=4, segue
W=W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^4,\qquad \dim W=4.
Uma base explícita de W pode ser tomada como a união B_{1}\cup B_{2} acima ou qualquer base padrão; por exemplo a base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}.]
Passo 9
Decidindo se a soma é direta: por definição W_{1}\oplus W_{2} significa que cada vetor de W_{1}+W_{2} pode ser escrito de maneira única como soma de um vetor de W_{1} e um de W_{2}. Uma condição equivalente é
W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.
No Passo 6 mostramos que W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Portanto a soma é direta. Como também W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^4, concluímos que
\mathbb{R}^4 = W_{1}\oplus W_{2}.
Resposta
a) W=W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^4. Uma base (por exemplo) é \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}. \dim W=4.\n
a) W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Base vazia (subespaço zero). \dim(W_{1}\cap W_{2})=0.\n
b) Sim. W=W_{1}\oplus W_{2}, pois W_{1}\cap W_{2}=\{0\} e W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^4.