Considere os subespaços de \mathbb{R}^{4} :
W_{1}=\left\{\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4} / x+y=z e y+w=0\right\} \quad \mathrm{e}
W_{2}=\left\{\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4} / x=\right. we \left.y=z\right\}
a) Determine os espaços W=W_{1}+W_{2} e W_{1} \cap W_{2} dando as respectivas bases e dimensões.
b) W=W_{1} \bigoplus W_{2} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^4 e pede:
  • Determinar W=W_{1}+W_{2} e W_{1}\cap W_{2}, dando bases e dimensões de cada um.
  • Dizer se W=W_{1}\oplus W_{2} e justificar.
As informações fornecidas são (peguei-as do enunciado):
W_{1}=\left\{\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4 \;\middle|\; x+y=z \text{ e } y+w=0\right\}
W_{2}=\left\{\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4 \;\middle|\; x=w \text{ e } y=z\right\}
O que precisamos encontrar: bases e dimensões de W_{1},W_{2},W_{1}\cap W_{2} e de W=W_{1}+W_{2}, e então responder se a soma é direta.

Passo 2

Vamos parametrizar W_{1}. As equações que definem W_{1} são
x+y=z,\qquad y+w=0.
Escolhemos parâmetros livres x e y. A partir das equações obtemos
z=x+y,\qquad w=-y.
Portanto um vetor genérico de W_{1} é
\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\y\x+y\\\ -y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Assim uma candidata a base de W_{1} é
B_{1}=\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}\right\}.

Passo 3

Verificamos que os vetores de B_{1} são LI (linearmente independentes): se
a\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
então pelas componentes obtemos o sistema
a=0,\qquad b=0,\qquad a+b=0,\qquad -b=0,
que implica a=b=0. Logo são LI. Conclusão:
\text{Base de }W_{1}: \; B_{1}=\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}\right\},\qquad \dim W_{1}=2.

Passo 4

Agora parametrizamos W_{2}. As equações são
x=w,\qquad y=z.
Tomamos parâmetros livres x e y. Então
z=y,\qquad w=x,
e um vetor genérico de W_{2} é
\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\y\y\x\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Assim uma candidata a base de W_{2} é
B_{2}=\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.

Passo 5

Verificamos LI em B_{2}: se
c\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
pelas componentes obtemos c=0,\\ d=0. Logo são LI. Conclusão:
\text{Base de }W_{2}: \; B_{2}=\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\},\qquad \dim W_{2}=2.

Passo 6

Calculemos W_{1}\cap W_{2}. Seja um vetor comum
v=\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}\in W_{1}\cap W_{2}.
Como v\in W_{2} temos x=w e y=z. Como v\in W_{1} temos x+y=z e y+w=0. Substituindo z=y e w=x nas equações de W_{1} obtemos
x+y = y \quad\Rightarrow\quad x=0,
y+w = 0 \quad\Rightarrow\quad y+x = 0.
Com x=0 a segunda equação dá y=0. Assim x=y=z=w=0. Portanto o único vetor comum é o vetor zero. Conclusão:
W_{1}\cap W_{2}=\{0\},\qquad \dim(W_{1}\cap W_{2})=0.
A base do subespaço zero é a base vazia (ou dizer que não há vetores não nulos na base).

Passo 7

Agora determinamos W=W_{1}+W_{2}. Uma geradora natural é a união das bases:
B_{1}\cup B_{2}=\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
Mostraremos que esses quatro vetores são LI, o que implicará \dim W=4 e, como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, teremos W=\mathbb{R}^4.

Passo 8

Prova de independência linear dos quatro vetores: suponha
a\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Escrevendo por componentes obtemos o sistema
\begin{cases} a + c = 0 & (\text{1ª componente})\\[4pt] b + d = 0 & (\text{2ª componente})\\[4pt] a + b + d = 0 & (\text{3ª componente})\\[4pt] -\,b + c = 0 & (\text{4ª componente}) \end{cases}ªªªª
Da primeira equação c=-a. Da quarta c=b, logo b=-a. Da segunda d=-b=a. Substituindo em terceira: a + b + d = a + (-a) + a = a = 0. Assim a=0, e segue b=c=d=0. Logo são LI. Portanto os quatro vetores formam uma base de um subespaço de dimensão 4. Como \dim\mathbb{R}^4=4, segue
W=W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^4,\qquad \dim W=4.
Uma base explícita de W pode ser tomada como a união B_{1}\cup B_{2} acima ou qualquer base padrão; por exemplo a base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}.]

Passo 9

Decidindo se a soma é direta: por definição W_{1}\oplus W_{2} significa que cada vetor de W_{1}+W_{2} pode ser escrito de maneira única como soma de um vetor de W_{1} e um de W_{2}. Uma condição equivalente é
W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.
No Passo 6 mostramos que W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Portanto a soma é direta. Como também W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^4, concluímos que
\mathbb{R}^4 = W_{1}\oplus W_{2}.

Resposta

a) W=W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^4. Uma base (por exemplo) é
\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}. \dim W=4.\n
a) W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Base vazia (subespaço zero). \dim(W_{1}\cap W_{2})=0.\n
b) Sim. W=W_{1}\oplus W_{2}, pois W_{1}\cap W_{2}=\{0\} e W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^4.

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