(2.5 pontos) Resolva y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2 e^{x} /\left(e^{x}+e^{-x}\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-y'=\frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Dados importantes que eu extraio do enunciado:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes e termo não-homogêneo dado por \dfrac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).
    Nada mais é pedido explicitamente, então vou obter a solução geral da equação.

Passo 2

Vou começar encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
y''-y'=0.
Formo a equação característica \;r^{2}-r=0\;, cujas raízes são r=0 e r=1. Logo a base de soluções da homogênea é
y_{1}(x)=1,\qquad y_{2}(x)=e^{x},
e a solução geral homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}e^{x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora preciso de uma solução particular para a equação completa. Vou usar o método das variações das constantes (variação de parâmetros), que é indicado quando conhecemos duas soluções fundamentais da homogênea (aqui 1 e e^{x}) e o termo não-homogêneo não é do tipo direto para coeficientes indeterminados.
Primeiro simplifico o termo do lado direito:
\frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} =\frac{2e^{x}}{2\operatorname{cosh} x} =\frac{e^{x}}{\operatorname{cosh} x}.
Também é útil reescrever esse quociente em termos de \operatorname{tanh} x. Observe que
\operatorname{tanh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}},
então
\frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}=1+\operatorname{tanh} x.
Logo o termo não-homogêneo que vou chamar de g(x) é
g(x)=1+\operatorname{tanh} x.

Passo 4

No método das variações das constantes procuramos y_{p}=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x) com y_{1}=1 e y_{2}=e^{x}. As fórmulas padrão (para a equação escrita em forma normal y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)) dão
u_{1}'(x)=-\frac{g(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{g(x)\,y_{1}(x)}{W(x)},
onde W(x) é o Wronskiano de y_{1},y_{2}. Calculo W:
W=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & e^{x} \\\\ 0 & e^{x} \end{vmatrix}=e^{x}.
Assim
u_{1}'(x)=-\frac{g(x)\,e^{x}}{e^{x}}=-g(x)=-\bigl(1+\operatorname{tanh} x\bigr),
u_{2}'(x)=\frac{g(x)\cdot 1}{e^{x}}=\frac{1+\operatorname{tanh} x}{e^{x}}.
Mas é mais simples reescrever u_{2}' usando a forma original g(x)=\dfrac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}:
u_{2}'(x)=\frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}\cdot\frac{1}{e^{x}}=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}=\operatorname{sech}x.
Agora integro cada uma:
  • Para u_{1}':
u_{1}'(x)=-1-\operatorname{tanh} x\quad\Longrightarrow\quad u_{1}(x)=\int(-1-\operatorname{tanh} x)\,dx=-x-\int \operatorname{tanh} x\,dx.
Recordando que \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln\operatorname{cosh} x\bigr)=\operatorname{tanh} x, segue
u_{1}(x)=-x-\ln\operatorname{cosh} x \quad(\text{ignorando constante de integração, que será absorvida pela homogênea}).çãáê
  • Para u_{2}':
u_{2}'(x)=\operatorname{sech}x.
Uma primitiva conhecida é
\int \operatorname{sech}x\,dx=2\arctan\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{x}{2})\bigr)+C.
Assim, escolhendo a constante de integração zero (novamente qualquer constante será absorvida pela solução homogênea), temos
u_{2}(x)=2\arctan\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{x}{2})\bigr).

Passo 5

A solução particular dada por variação de parâmetros é
y_{p}(x)=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x) = \bigl(-x-\ln\operatorname{cosh} x\bigr)\cdot 1 +2\arctan\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{x}{2})\bigr)\cdot e^{x}.
Finalmente a solução geral da equação (soma da homogênea com uma particular) é
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}-x-\ln\operatorname{cosh} x+2e^{x}\arctan\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{x}{2})\bigr),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. (Constantes vindas das primitivas usadas acima foram reunidas em C_{1},C_{2}.)

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}-x-\ln\operatorname{cosh} x+2e^{x}\arctan\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{x}{2})\bigr)

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