O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-y'=\frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Dados importantes que eu extraio do enunciado:
A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes e termo não-homogêneo dado por \dfrac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).
Nada mais é pedido explicitamente, então vou obter a solução geral da equação.
Passo 2
Vou começar encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
y''-y'=0.
Formo a equação característica \;r^{2}-r=0\;, cujas raízes são r=0 e r=1. Logo a base de soluções da homogênea é
y_{1}(x)=1,\qquad y_{2}(x)=e^{x},
e a solução geral homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}e^{x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora preciso de uma solução particular para a equação completa. Vou usar o método das variações das constantes (variação de parâmetros), que é indicado quando conhecemos duas soluções fundamentais da homogênea (aqui 1 e e^{x}) e o termo não-homogêneo não é do tipo direto para coeficientes indeterminados.
Logo o termo não-homogêneo que vou chamar de g(x) é
g(x)=1+\operatorname{tanh} x.
Passo 4
No método das variações das constantes procuramos y_{p}=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x) com y_{1}=1 e y_{2}=e^{x}. As fórmulas padrão (para a equação escrita em forma normal y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)) dão