Questão 27. A equação de Navier-Stokes descreve a evolução do campo de velocidades de um fluido viscoso, que aqui consideraremos também incompressível
\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=-\nabla p+\mu \nabla^{2} \vec{u}, \quad \nabla \cdot \vec{u}=0
onde \vec{u}(\vec{r}, t) é o campo de velocidade, p(\vec{r}, t) é a pressão e \mu o coeficiente de viscosidade (cisalhamento). Ao tomar o rotacional da equação (5), lembrando que o rotacional de um campo gradiente é sempre nulo: \nabla \times \nabla p=\overrightarrow{0}, obtemos a equação de evolução da vorticidade do fluido
\frac{D \vec{\omega}}{D t}=\frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t}+(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{\omega}=\mu \nabla^{2} \vec{\omega}, \quad \nabla \cdot \vec{u}=0
onde a vorticidade fica definida por \vec{\omega}=\nabla \times \vec{u}. Fazendo uma mudança de escala na equação (6) obtemos sua forma adimensional
\frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t}+\operatorname{Re}(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{\omega}=\nabla^{2} \vec{\omega}
onde R e=a U \mu^{-1} é o número de Reynolds. No limite de baixo Reynolds (alta viscosidade), para um fluido bidimensional, a equação (7) é aproximada pela equação de difusão da vorticidade, na forma da equação do calor
\frac{\partial \omega}{\partial t}=\nabla^{2} \omega

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Navier–Stokes para um fluido incompressível, conduz à equação de vorticidade
\frac{D\vec\omega}{Dt}=\mu\nabla^2\vec\omega, \quad\nabla\cdot\vec u=0,
e, ao torná-la adimensional, obtém
\frac{\partial\vec\omega}{\partial t}+\mathrm{Re}\,(\vec u\cdot\nabla)\vec\omega=\nabla^2\vec\omega,
mencionando que, no limite de baixo número de Reynolds, para fluxo bidimensional, ela se reduz à equação de difusão da vorticidade
\frac{\partial\omega}{\partial t}=\nabla^2\omega.
Porém, o enunciado não especifica qual quantidade ou resultado final devemos encontrar (por exemplo: derivar essa forma, aplicar em condição de contorno, resolver para um caso particular etc.).

Passo 2

Sem uma pergunta clara — isto é, sem indicação do que se pede calcular, demonstrar ou aplicar — não há como prosseguir na resolução. É necessária a informação de qual é o objetivo final: derivar a forma adimensional, provar a redução ao caso de difusão, resolver uma condição inicial, ou outro item específico.

Resposta

Não há como resolver a questão porque o enunciado fornecido não especifica o que se deve calcular, demonstrar ou aplicar.

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