em que (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}) são progressões geométricas de razões 3 e 4 e de somas 80 e 255, respectivamente. Precisamos achar \det(A^{-1}). Vamos usar:
Fórmula da soma de uma PG.
Expansão de Laplace para \det(A).
Propriedade \det(A^{-1}) = 1/\det(A).]
Passo 2
Calcular os termos \{x_i\}. Se a PG tem primeiro termo a e razão 3, então
x_1 = a,\quad x_2=3a,\quad x_3=9a,\quad x_4=27a,
e a soma é
a + 3a + 9a + 27a = 40a = 80 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.
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(x_1,x_2,x_3,x_4) = (2,\,6,\,18,\,54).
Analogamente, se a PG \{y_i\} tem primeiro termo b e razão 4,
y_1 = b,\;y_2=4b,\;y_3=16b,\;y_4=64b,
com soma
b+4b+16b+64b = 85b = 255 \quad\Longrightarrow\quad b = 3,
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(y_1,y_2,y_3,y_4) = (3,\,12,\,48,\,192).
Passo 3
Vamos calcular \det(A) por expansão de Laplace na terceira linha. A única entrada não nula em R_3 é a_{3,4}=1, com sinal (-1)^{3+4}=-1. O menor correspondente é a matriz M obtida eliminando linha 3 e coluna 4, isto é
Para \det(M) expandimos na terceira linha, onde apenas M_{3,1}=1 é não nulo, com sinal (-1)^{3+1}=+1. O cofactor é o determinante do submenor 2\times2 em colunas 2 e 3: