Questão 27 (OBM-2006) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, tais que, para todo inteiro positivo k tem-se que (A+B)^{k}=A^{k}+B^{k}. Prove que se A é inversível então B é a matriz nula.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem tais que, para todo inteiro positivo k,
(A+B)^{k} \;=\; A^{k} + B^{k},
e sabe-se que A é inversível. Queremos provar que B é a matriz nula. Iremos usar polinômios matriciais, o binômio de Newton e o fato de que em corpos de característica zero (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}) podemos cancelar escalares não-nulos.

Passo 2

Como A é inversível, definimos
X = A^{-1}B.
Então
A + B \;=\; A\,(I + X) \quad\Longrightarrow\quad (A+B)^{k} \;=\; A^{k}\,(I + X)^{k}.
Por outro lado,
A^{k} + B^{k} \;=\; A^{k} \;+\;A^{k}X^{k} \;=\; A^{k}\,(I + X^{k}).
Pela hipótese (A+B)^{k}=A^{k}+B^{k}, podemos cancelar A^{k}, obtendo para todo k\ge1:
(I + X)^{k} \;=\; I + X^{k}.

Passo 3

Escolhendo k=2, o binômio de Newton diz
(I + X)^{2} \;=\; I + 2X + X^{2}.
Como pela hipótese (I+X)^{2}=I+X^{2}, segue
I + 2X + X^{2} \;=\; I + X^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2X = 0.
Num corpo de característica zero, 2\neq0, daí X=0.

Passo 4

Voltando à definição X = A^{-1}B, como X=0 segue
A^{-1}B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.

Resposta

B é a matriz nula.

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