Questão 28 Sejam A, B matrizes quadradas de ordem n. Se I_{n}-A B é uma matriz inversível, mostre que I_{n}-B A também é uma matriz inversível e determine \left(I_{n}-B A\right)^{-1}.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem n e que \;I_n - AB é invertível. Precisamos mostrar que \;I_n - BA também é invertível e encontrar sua inversa explicitamente. Vamos usar a ideia de construir uma matriz candidata ao inverso de I_n - BA usando (I_n - AB)^{-1}.

Passo 2

Definimos a matriz
X \;=\; I_n \;+\; B\,\bigl(I_n - AB\bigr)^{-1}A.
Vamos verificar que (I_n - BA)\,X = I_n. Começando,
(I_n - BA)\,X = I_n + B\,(I_n - AB)^{-1}A \;-\; BA \;-\; B\,A\,B\,(I_n - AB)^{-1}A.
Agrupando os termos com B\,\cdot\,A:
B\,(I_n - AB)^{-1}A \;-\; B\,A\,B\,(I_n - AB)^{-1}A = B\Bigl((I_n - AB)^{-1} \;-\; AB\,(I_n - AB)^{-1}\Bigr)A.
Como \,(I_n - AB)^{-1}(I_n - AB)=I_n, temos
(I_n - AB)^{-1} \;-\; AB\,(I_n - AB)^{-1} = I_n.
Logo
B\Bigl((I_n - AB)^{-1} - AB\,(I_n - AB)^{-1}\Bigr)A = B\,I_n\,A = BA.
Substituindo de volta,
(I_n - BA)\,X = I_n + BA - BA = I_n.

Passo 3

De forma análoga verifica-se que
X\,(I_n - BA) = I_n.
Portanto X é simultaneamente inverso à esquerda e à direita de (I_n - BA). Sendo quadradas, isso garante que (I_n - BA) é invertível e que
X = \bigl(I_n - BA\bigr)^{-1}.

Resposta

\bigl(I_n - BA\bigr)^{-1} = I_n \;+\; B\,\bigl(I_n - AB\bigr)^{-1}A.

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