Questão 28 Sejam
matrizes quadradas de ordem n. Se
é uma matriz inversível, mostre que
também é uma matriz inversível e determine
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas de ordem
e que
é invertível. Precisamos mostrar que
também é invertível e encontrar sua inversa explicitamente. Vamos usar a ideia de construir uma matriz candidata ao inverso de
usando
.
Passo 2
Definimos a matriz
Vamos verificar que
. Começando,
Agrupando os termos com
:
Como
, temos
Logo
Substituindo de volta,
Passo 3
De forma análoga verifica-se que
Portanto
é simultaneamente inverso à esquerda e à direita de
. Sendo quadradas, isso garante que
é invertível e que