Questão 29 Suponha que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede para mostrar a equivalência lógica
Ou seja, há duas coisas a provar:
- Direção 1: se
então . - Direção 2: se
então .
Anotar essas duas direções ajuda a organizar a prova passo a passo.
Passo 2
Lembrete útil (propriedade de desigualdades). Para quaisquer números reais
:
- Se
então, ao somar o mesmo em ambos os lados, obtém-se . Isso vale porque e .
Esta propriedade é elementary e vale para todo, positivo ou negativo — somar um mesmo número preserva a ordem estrita.
Passo 3
Prova da Direção 1 (
).
Assuma . Aplicando a propriedade do passo anterior com
,
e
, somamos
em ambos os lados e obtemos
Assuma
Como
, segue
que é exatamente o que queríamos mostrar para essa direção.
Passo 4
Lembrete complementar (subtração preserva ordem). Para quaisquer
:
- Se
então ao subtrair o mesmo de ambos os lados fica . Isso é equivalente à propriedade de soma, apenas escrita como subtração.
Passo 5
Prova da Direção 2 (
).
Assuma . Aplicando a propriedade do passo 4 com
,
e
, subtraímos
de ambos os lados e obtemos
Assuma
Como
, segue
que é exatamente o que queríamos para a segunda direção.
Passo 6
Conclusão combinada. Como provamos tanto
quanto
, temos a equivalência lógica
Observação rápida e pedagógica: a hipótese
garante que
é um número real (e não afeta a validade das propriedades usadas), mas a equivalência acima vale para quaisquer números reais
. Também note que se
então
, e a desigualdade estrita deixa de ser verdadeira — por isso o símbolo é estrito (
) em ambas as declarações.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar (bem prático). Tome
,
(logo
).
- Se
então porque ; somando obtemos . - Inversamente, se alguém diz
e sabemos , então . Isso mostra concretamente a equivalência.