Questão 29 Suponha que a \leq b. Mostre que
c<b-a \text { se, e somente se, } c+a<b \text {. }

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade a \leq b e pede para mostrar a equivalência lógica
c < b - a \text{ se, e somente se, } c + a < b.
Ou seja, há duas coisas a provar:
  • Direção 1: se \,c < b - a\, então \,c + a < b\,.
  • Direção 2: se \,c + a < b\, então \,c < b - a\,.
    Anotar essas duas direções ajuda a organizar a prova passo a passo.

Passo 2

Lembrete útil (propriedade de desigualdades). Para quaisquer números reais x,y,z:
  • Se \,x < y\, então, ao somar o mesmo z em ambos os lados, obtém-se \,x+z < y+z\,. Isso vale porque y-x>0 e (y+z)-(x+z)=y-x>0.
    Esta propriedade é elementary e vale para todo z, positivo ou negativo — somar um mesmo número preserva a ordem estrita.

Passo 3

Prova da Direção 1 ( c < b - a \Rightarrow c + a < b).
Assuma \,c < b - a\,. Aplicando a propriedade do passo anterior com x=c, y=b-a e z=a, somamos a em ambos os lados e obtemos
c + a < (b - a) + a.
Como (b - a) + a = b, segue
c + a < b,
que é exatamente o que queríamos mostrar para essa direção.

Passo 4

Lembrete complementar (subtração preserva ordem). Para quaisquer x,y,z:
  • Se \,x < y\, então ao subtrair o mesmo z de ambos os lados fica \,x-z < y-z\,. Isso é equivalente à propriedade de soma, apenas escrita como subtração.

Passo 5

Prova da Direção 2 ( c + a < b \Rightarrow c < b - a).
Assuma \,c + a < b\,. Aplicando a propriedade do passo 4 com x=c+a, y=b e z=a, subtraímos a de ambos os lados e obtemos
(c + a) - a < b - a.
Como (c + a) - a = c, segue
c < b - a,
que é exatamente o que queríamos para a segunda direção.

Passo 6

Conclusão combinada. Como provamos tanto \,c < b - a \Rightarrow c + a < b\, quanto \,c + a < b \Rightarrow c < b - a\,, temos a equivalência lógica
c < b - a \iff c + a < b.
Observação rápida e pedagógica: a hipótese a \leq b garante que b-a é um número real (e não afeta a validade das propriedades usadas), mas a equivalência acima vale para quaisquer números reais a,b,c. Também note que se c = b - a então c + a = b, e a desigualdade estrita deixa de ser verdadeira — por isso o símbolo é estrito ( <) em ambas as declarações.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar (bem prático). Tome \,a=3, \,b=7 (logo b-a=4).
  • Se c=2 então c < b-a porque 2<4; somando a obtemos c+a=5<7.
  • Inversamente, se alguém diz c+a<7 e sabemos a=3, então c<4. Isso mostra concretamente a equivalência.

Resposta

c<b-a \iff c+a<b

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