Questão 27 Se
são números naturais,ñão nulos, e
, mostre que
ou
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são números naturais não nulos (ou seja, inteiros positivos). -
.
O que precisa ser mostrado: a conclusão lógica de que
ou
.
Passo 2
Entender o que significa “números naturais não nulos”: isso quer dizer que
e
são inteiros positivos. Em notação,
Isto é importante porque exclui a possibilidade de
ou
serem zero ou valores fracionários — só podem ser
.
Passo 3
Usamos uma prova por contradição simples. Suponha, para obter contradição, que nenhum dos dois seja
. Como são inteiros positivos, “não ser 1” implica ser pelo menos
. Portanto a suposição é:
Somando essas desigualdades obtemos
Mas isso contradiz a informação do problema de que
. Logo a suposição está errada.
Passo 4
Da contradição deduzimos que não é possível ter simultaneamente
e
. Assim, pelo menos um dos dois não é
. Como já sabemos que ambos são
, isso implica que pelo menos um deles é igual a
. Em símbolos:
Passo 5
Podemos, se quisermos, listar as possibilidades inteiras que satisfazem
com
: são apenas
e
. Em ambos os casos a conclusão "
ou
" é verdadeira.