Questão 27 Se a, b são números naturais,ñão nulos, e a+b=3, mostre que a=1 ou b=1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a e b são números naturais não nulos (ou seja, inteiros positivos).
  • a+b=3.
O que precisa ser mostrado: a conclusão lógica de que a=1 ou b=1.

Passo 2

Entender o que significa “números naturais não nulos”: isso quer dizer que a e b são inteiros positivos. Em notação,
a\ge 1\quad\text{e}\quad b\ge 1.
Isto é importante porque exclui a possibilidade de a ou b serem zero ou valores fracionários — só podem ser 1,2,3,\dots.

Passo 3

Usamos uma prova por contradição simples. Suponha, para obter contradição, que nenhum dos dois seja 1. Como são inteiros positivos, “não ser 1” implica ser pelo menos 2. Portanto a suposição é:
a\ge 2\quad\text{e}\quad b\ge 2.
Somando essas desigualdades obtemos
a+b \ge 2+2 = 4.
Mas isso contradiz a informação do problema de que a+b=3. Logo a suposição está errada.

Passo 4

Da contradição deduzimos que não é possível ter simultaneamente a\ge 2 e b\ge 2. Assim, pelo menos um dos dois não é \ge 2. Como já sabemos que ambos são \ge 1, isso implica que pelo menos um deles é igual a 1. Em símbolos:
\text{ou } a<2\text{ ou } b<2 \quad\Rightarrow\quad \text{ou } a=1\text{ ou } b=1.

Passo 5

Podemos, se quisermos, listar as possibilidades inteiras que satisfazem a+b=3 com a,b\ge1: são apenas (a,b)=(1,2) e (a,b)=(2,1). Em ambos os casos a conclusão " a=1 ou b=1 " é verdadeira.

Resposta

a=1 ou b=1

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