Questão 28 Se a, b, c são números naturais, com c>0, e a c<b c, mostre que a<b.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b,c são números naturais;
  • c>0;
  • a c < b c.
O que se pede: mostrar que a<b.

Passo 2

Estratégia: vou usar um argumento por contradição baseado na tricotomia dos naturais (para dois naturais x,y vale exatamente uma das alternativas x<y, x=y ou x>y) e nas propriedades básicas da adição e multiplicação em \mathbb{N}. Em particular vou separar os casos a=b e a>b e mostrar que ambos contradizem a c<b c.

Passo 3

Considere a hipótese contrária: suponha que não seja verdade que a<b. Então vale a\ge b. Pelas propriedades dos naturais isso significa que ou a=b ou a>b. Vamos examinar cada caso.

Passo 4

Caso a=b.
Se a=b então, multiplicando por c, obtemos
a c = b c.
Isto contradiz a hipótese a c < b c. Logo não pode ocorrer a=b.

Passo 5

Caso a>b.
Se a>b então existe n\in\mathbb{N} com n\ge 1 tal que
a = b + n.
Multiplicando ambos os lados por c e usando distributividade,
a c = (b+n)c = b c + n c.
Como n\ge 1 podemos escrever n=1+m com m\in\mathbb{N}, então
n c = (1+m)c = c + m c \ge c,
pois m c\ge 0. Como c>0, tem-se n c \ge c>0. Portanto
a c = b c + n c \ge b c + c > b c,
o que contradiz novamente a hipótese a c < b c.

Passo 6

Concluímos que nem a=b nem a>b são possíveis, dado que ambas contradizem a c<b c. Pela tricotomia sobra apenas a possibilidade a<b. Portanto a suposição contrária está descartada e o resultado é provado.

Resposta

a<b

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