Questão 28 Se
são números naturais, com
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
são números naturais; -
; -
.
O que se pede: mostrar que
.
Passo 2
Estratégia: vou usar um argumento por contradição baseado na tricotomia dos naturais (para dois naturais
vale exatamente uma das alternativas
,
ou
) e nas propriedades básicas da adição e multiplicação em
. Em particular vou separar os casos
e
e mostrar que ambos contradizem
.
Passo 3
Considere a hipótese contrária: suponha que não seja verdade que
. Então vale
. Pelas propriedades dos naturais isso significa que ou
ou
. Vamos examinar cada caso.
Passo 4
Caso
.
Se então, multiplicando por
, obtemos
Se
Isto contradiz a hipótese
. Logo não pode ocorrer
.
Passo 5
Caso
.
Se então existe
com
tal que
Se
Multiplicando ambos os lados por
e usando distributividade,
Como
podemos escrever
com
, então
pois
. Como
, tem-se
. Portanto
o que contradiz novamente a hipótese
.
Passo 6
Concluímos que nem
nem
são possíveis, dado que ambas contradizem
. Pela tricotomia sobra apenas a possibilidade
. Portanto a suposição contrária está descartada e o resultado é provado.