Questão 4. (2pontos) Considere o campo vetorial:
\mathbf{F}(x, y)=\left(x^{3} y^{4}, x^{4} y^{3}\right)
(i) Verifique que \mathbf{F} é campo vetorial conservativo.
(ii) Ache uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
(iii) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial \mathbf{F} ao mover uma partícula sobre a curva
C: \mathbf{r}(t)=\left(\sqrt{t}, 1+t^{3}\right), 0 \leq t \leq 1,
usando (ii).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(x^{3}y^{4},\,x^{4}y^{3}\bigr)
e pede:
(i) mostrar que \mathbf{F} é conservativo;
(ii) encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f;
(iii) usar f para calcular o trabalho
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
ao longo de
C:\mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{t},\,1+t^{3}\bigr),\quad 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é teste de conservatividade via igualdade das derivadas parciais cruzadas e aplicação do teorema fundamental para campos gradiente.

Passo 2

Para verificar que \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo calculamos \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}.
Temos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{4}\bigr) =4x^{3}y^{3},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}y^{3}\bigr) =4x^{3}y^{3}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em toda \mathbb{R}^{2}, \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar f procuramos uma função cuja derivada em x seja P. Integramos
f(x,y)=\int x^{3}y^{4}\,dx =\frac{x^{4}y^{4}}{4}+g(y),
onde g(y) é função a determinar. Agora usamos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^{4}y^{4}}{4}+g(y)\Bigr) =x^{4}y^{3}+g'(y)
e impomos que isso seja Q=x^{4}y^{3}. Logo g'(y)=0 e g é constante. Podemos escolher g(y)=0. Assim
f(x,y)=\frac{x^{4}y^{4}}{4}.

Passo 4

Como \mathbf{F}=\nabla f, o trabalho ao longo de C é
W=f\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr).
Calculamos \mathbf{r}(0)=(0,1) e \mathbf{r}(1)=(1,2). Logo
f\bigl(1,2\bigr) =\frac{1^{4}\cdot2^{4}}{4} =\frac{16}{4}=4, \quad f\bigl(0,1\bigr) =\frac{0^{4}\cdot1^{4}}{4}=0.
Portanto
W=4-0=4.

Resposta

(i) \mathbf{F} é conservativo porque \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.
(ii) f(x,y)=\dfrac{x^{4}y^{4}}{4}+\!C.
(iii) W=4.

Exercícios relacionados