Questão 4. (2pontos) Considere o campo vetorial:
(i) Verifique que
é campo vetorial conservativo.
(ii) Ache uma função
tal que
.
(iii) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma partícula sobre a curva
usando (ii).
(ii) Ache uma função
(iii) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede:
(i) mostrar que é conservativo;
(ii) encontrar uma função potencial tal que
;
(iii) usar para calcular o trabalho
(i) mostrar que
(ii) encontrar uma função potencial
(iii) usar
ao longo de
O conteúdo aqui é teste de conservatividade via igualdade das derivadas parciais cruzadas e aplicação do teorema fundamental para campos gradiente.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo calculamos
e
.
Temos
Temos
Como
em toda
,
é conservativo.
Passo 3
Para achar
procuramos uma função cuja derivada em
seja
. Integramos
onde
é função a determinar. Agora usamos
e impomos que isso seja
. Logo
e
é constante. Podemos escolher
. Assim
Passo 4
Como
, o trabalho ao longo de
é
Calculamos
e
. Logo
Portanto
Resposta
(i)
é conservativo porque
.
(ii) .
(iii) .
(ii)
(iii)