Ache um valor mínimo relativo de f, sujeito ao vínculo indicado. Suponha que um valor mínimo relativo exista.
f(x, y, z)=x y z com vínculo x^{2}+y^{2}+z^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede o valor mínimo relativo de f(x,y,z)=xyz sujeito ao vínculo
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Para resolver, aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos
g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1
e montamos as equações \nabla f = \lambda\,\nabla g:
yz = 2\lambda x,
xz = 2\lambda y,
xy = 2\lambda z,
junto com o vínculo
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 3

Procuramos soluções com xyz\neq0. Dividindo as duas primeiras equações, obtemos
\frac{yz}{xz} = \frac{2\lambda x}{2\lambda y} \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x} = \frac{x}{y} \;\Longrightarrow\; x^{2}=y^{2}.
De modo análogo, das outras duas equações vem y^{2}=z^{2}. Logo
x^{2}=y^{2}=z^{2}.
Pelo vínculo,
3x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{3},
e portanto
x,y,z = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Substituindo em f dá os valores críticos
f=\pm\frac{1}{3\sqrt{3}}.

Passo 4

Comparamos os valores críticos:
-\frac{1}{3\sqrt{3}} < 0 < \frac{1}{3\sqrt{3}}.
Então o valor mínimo relativo de f sob o vínculo é
-\frac{1}{3\sqrt{3}}.

Resposta

-\frac{1}{3\sqrt{3}}

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