Ache a menor e a maior distância da origem a um ponto da elipse x^{2}+4 y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede a menor e a maior distância da origem a um ponto (x,y) satisfazendo a elipse
x^{2} + 4y^{2} = 16.
A distância ao quadrado é
d^{2} = x^{2} + y^{2},
e basta otimizar d^{2} em vez de d. Vamos usar a parametrização padrão da elipse.

Passo 2

Parametrizamos a elipse por
x = 4\cos t,\quad y = 2\sin t,
com t\in[0,2\pi). Isso garante que \bigl(x(t),y(t)\bigr) percorre toda a elipse.

Passo 3

Substituindo na expressão de d^{2}, obtemos
d^{2}(t) \;=\; x^{2}+y^{2} \;=\;16\cos^{2}t \;+\;4\sin^{2}t \;=\;16 \;-\;12\sin^{2}t.

Passo 4

Como \sin^{2}t varia entre 0 e 1, temos
d^{2}_{\max} = 16 - 12\cdot0 = 16, \qquad d^{2}_{\min} = 16 - 12\cdot1 = 4.

Passo 5

Extraindo as raízes, os extremos de d são
d_{\max} = \sqrt{16} = 4, \qquad d_{\min} = \sqrt{4} = 2.

Resposta

Menor distância: 2.
Maior distância: 4.

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