Questão 5 (2pontos) Na estrutura abaixo o cabo possui secção circular cheia. Admita que o cabo BC possui diâmetro igual à 5 mm , comprimento em repouso igual à 5 m e é fabricado em aço, E=200GPa. Determine o maior valor da força P que pode ser aplicada na barra sem que o deslocamento vertical do ponto B seja maior que 10 mm (admita que o deslocamento horizontal do ponto B é desprezível).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma estrutura com um cabo de seção circular cheia, feito de aço. As informações que temos são: diâmetro do cabo BC é 5 mm, comprimento em repouso de 5 m, módulo de elasticidade do aço E = 200 GPa. Queremos descobrir qual é a maior força $ P $ que podemos aplicar na barra sem que o deslocamento vertical do ponto B ultrapasse 10 mm. Vamos precisar usar conceitos de deformação e tensão nos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O diâmetro do cabo é 5 mm, que é igual a 0,005 m. O comprimento em repouso é 5 m e o deslocamento máximo permitido é 10 mm, ou 0,01 m. O módulo de elasticidade $ E $ é 200 GPa, ou seja, $ 200 \times 10^9 $ Pa.

Passo 3

Como o deslocamento horizontal do ponto B é desprezível, podemos considerar que a força $ P $ está causando uma deformação no cabo BC. A relação entre força, deformação e módulo de elasticidade é dada pela fórmula:
P
Onde:
  • $ \delta $ é a deformação (0,01 m),
  • $ L $ é o comprimento do cabo (5 m),
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ E $ é o módulo de elasticidade.

Passo 4

Precisamos encontrar a área da seção transversal $ A $. Como o cabo tem seção circular, usamos a fórmula da área do círculo:
A
Com $ d = 0,005 $ m:
A = pi ( d2 )^2

Passo 5

Agora, vamos rearranjar a fórmula da deformação para resolver $ P $:
P
Substituindo os valores:
P = de

Passo 6

Calculando passo a passo:
0,01 times 0,000019635 = 0,00000019635
0,00000019635 times 200 times 10^9 = 0,00000019635 times 200000000000 = 39270
P = 392705 = 7854 , N

Resposta

O maior valor da força $ P $ que pode ser aplicada na barra sem que o deslocamento vertical do ponto B exceda 10 mm é de 7.854 N.

Exercícios relacionados