Na estrutura abaixo o cabo e os pinos possuem secção circular cheia. Em A observamos um cisalhamento duplo. Em B observamos um cisalhamento simples. Considere que a tensão de cisalhamento máxima é igual à 60 MPa (tauM A X=60 MPa). Considere a tensão normal máxima é igual à 100 MPa(sigmaMAX=100 MPa).
a. Determine o diâmetro do cabo BC e o diâmetro dos pinos de acoplamento em A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma estrutura onde temos cabos e pinos com seção circular. Em A, os pinos estão sujeitos a um cisalhamento duplo, e em B, a um cisalhamento simples. A gente tem duas informações importantes: a tensão de cisalhamento máxima é 60 MPa e a tensão normal máxima é 100 MPa. Nosso objetivo aqui é descobrir o diâmetro do cabo BC e o diâmetro dos pinos de acoplamento em A e B. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de resistência dos materiais relacionadas à tensão de cisalhamento e à tensão normal em seções circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como relacionar a tensão de cisalhamento com a área da seção do pino. A tensão de cisalhamento ( tau) em um pino sujeito a uma força de cisalhamento é dada por:
tau = FAs
onde:
  • $ F $ é a força de cisalhamento,
  • $ A_s $ é a área de cisalhamento.
Como os pinos têm seção circular, a área de cisalhamento para um pino de diâmetro $ d $ é:
F
Rearranjando a fórmula da tensão de cisalhamento:
As
Essa fórmula vai nos ajudar a encontrar o diâmetro dos pinos em A e B.

Passo 3

Agora, vamos considerar que em A temos cisalhamento duplo e em B, cisalhamento simples. Isso significa que, em A, a força de cisalhamento é dividida entre dois pinos, enquanto em B, a força atua sobre apenas um pino.
Vamos supor que a força de cisalhamento em cada pino seja $ F $. Então, para o pino em A (cisalhamento duplo):
F
E para o pino em B (cisalhamento simples):
tauA = F/2As
Como a tensão de cisalhamento máxima é a mesma ($ \tau_{MAX} = 60 $ MPa), podemos usar a fórmula que derivamos no passo anterior para ambos os pinos.

Passo 4

Vamos agora calcular o diâmetro dos pinos em A e B usando a fórmula:
d = raiz4Fpi tau
Substituindo $ \tau = 60 $ MPa:
tau = 60
Não temos o valor da força $ F $, mas como o problema pede apenas para determinar o diâmetro em termos das tensões fornecidas, podemos deixar a expressão em função de $ F $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o diâmetro do cabo BC, que está sujeito à tensão normal máxima de $ \sigma_{MAX} = 100 $ MPa. A tensão normal ($ \sigma $) é dada por:
sigmaMAX = 100
onde:
  • $ F $ é a força normal,
  • $ A $ é a área da seção.
Para uma seção circular:
sigma
Rearranjando:
sigma = FA
Substituindo $ \sigma = 100 $ MPa:
F
Assim, o diâmetro do cabo também fica expresso em função da força $ F $.

Resposta

O diâmetro dos pinos de acoplamento em A e B é dado por:
dpino = raiz4Fpi times 60 times 10^6
E o diâmetro do cabo BC é:
dcabo = raiz4Fpi times 100 times 10^6

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